下の図のような質量m、それぞれの辺の長さがa , b , lの直方体の慣性モーメントを求めます
密度をρとすると
$$\rho = \frac{m}{abl}$$
積分範囲は
$$-\frac{b}{2}\leq x \leq\frac{b}{2} ~~~ -\frac{a}{2}\leq y \leq\frac{a}{2} ~~~ -\frac{c}{2}\leq z \leq\frac{c}{2}$$
z軸まわりの慣性モーメントは
$$\begin{align*}
I _{z}
&= \int r^2 dm\\
&= \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \frac{m}{abl}(x^2 + y^2)dydxdz\\
&= \frac{m}{abl}\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}\left[ x^2 y+\frac{y^3}{3} \right]_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}dxdz\\
&= \frac{m}{abl}\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} (ax^2 \frac{a^3}{12}) dxdz\\
&= \frac{m}{abl}\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}\left[ \frac{a}{3}x^3 + \frac{a^3}{12}x \right]_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}dz\\
&= \frac{m}{abl}\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} (\frac{a}{3}x^3 + \frac{a^3}{12}b) dz\\
&= \frac{m}{abl}\cdot \frac{abl(a^2 + b^2)}{12}\\
&= \frac{1}{12}m(a^2 + b^2)
\end{align*}$$
I _{z}
&= \int r^2 dm\\
&= \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \frac{m}{abl}(x^2 + y^2)dydxdz\\
&= \frac{m}{abl}\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}\left[ x^2 y+\frac{y^3}{3} \right]_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}dxdz\\
&= \frac{m}{abl}\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} (ax^2 \frac{a^3}{12}) dxdz\\
&= \frac{m}{abl}\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}\left[ \frac{a}{3}x^3 + \frac{a^3}{12}x \right]_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}dz\\
&= \frac{m}{abl}\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} (\frac{a}{3}x^3 + \frac{a^3}{12}b) dz\\
&= \frac{m}{abl}\cdot \frac{abl(a^2 + b^2)}{12}\\
&= \frac{1}{12}m(a^2 + b^2)
\end{align*}$$
x , y軸についても同様に計算して
$$I_{x} = \frac{1}{12}m(a^2 + l^2) ~~~ I_{y} = \frac{1}{12}m(b^2 + l^2)$$
それぞれの回転半径は
$$k_{x} = \sqrt{\frac{I_{x}}{m}} = \sqrt{\frac{a^2 + l^2}{12}} ~~~ k_{y} = \sqrt{\frac{I_{y}}{m}} = \sqrt{\frac{b^2 + l^2}{12}} ~~~ k_{z} = \sqrt{\frac{I_{z}}{m}} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{12}}$$
よって以下の表のようになります
| 慣性モーメント | 回転半径 |
| $$I_{x} = \frac{1}{12}m(a^2 + l^2)$$ | $$k_{x} =\sqrt{\frac{a^2 + l^2}{12}}$$ |
| $$I_{y} = \frac{1}{12}m(b^2 + l^2)$$ | $$k_{y} =\sqrt{\frac{b^2 + l^2}{12}}$$ |
| $$I_{z} = \frac{1}{12}m(a^2 + b^2)$$ | $$k_{z} =\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{12}}$$ |