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中学数学で出来る!ヘロンの公式の証明

ヘロンの公式は、三角形の3辺の長さから面積を求める公式です

以下の三角形ABCの面積Sは

 

 

$$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}~~~(s = \frac{a+b+c}{2})$$

今回は、この公式の「三角関数を使って証明する方法」と「中学数学だけで証明する方法」の2種類の証明方法を紹介していきます

 

三角関数を使って証明する方法

前回の記事より、三角形の面積はsinを使って

$$S = \frac{1}{2}ab\sin{C}$$

と表せます

これと、余弦定理$$c^2 = a^2 + b^2 -2ab\cos{C}$$を使います

三角形の面積Sは

$$\begin{align*}
S
&= \frac{1}{2}ab\sin{C}\\
&= \frac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos ^2 C}\\
&= \frac{1}{2}ab\sqrt{1 - (\frac{a^2 + b^2 -c^2}{2ab})^2}\\
&= \frac{1}{2}ab\cdot\frac{1}{2ab}\sqrt{(2ab)^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2}\\
&= \frac{1}{4}\sqrt{(2ab + a^2 + b^2 -c^2)(2ab - a^2 - b^2 + c^2)}\\
&= \frac{1}{4}\sqrt{\{(a+b)^2 - c^2\}\{(c^2 - (a - b)^2)\}}\\
&= \frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\\
&= \sqrt{\frac{a+b+c}{2} \cdot \frac{-a+b+c}{2} \cdot \frac{a-b+c}{2} \cdot \frac{a+b-c}{2}}\\
ここで、s = \frac{a+b+c}{2}とすると\\
&= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align*}$$

と、証明できました

 

中学数学の知識で証明する

中学数学では、三角関数や余弦定理について学ばないので、これらを使わずに証明していきます

三角形ABCの頂点Aから線分BCに垂線を下ろし、交点をHとします

 

 

AH = h , BH = dとおきます

\(\triangle ABDと \triangle ADC\)において、三平方の定理より

$$\begin{align*}
&c^2 = h^2 + d^2\cdots ①\\
&b^2 = h^2 + (a-d)^2\cdots ②
\end{align*}$$

②を変形して

$$\begin{align*}
&b^2 = h^2 + a^2 - 2ad + d^2\\
&h^2 = b^2 - a^2 + 2ad - d^2\cdots ③
\end{align*}$$

③を①に代入して

$$\begin{align*}
&c^2 = b^2 - a^2 + 2ad\\
&d = \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2a}\cdots ④
\end{align*}$$

④を①に代入すると

$$c^2 = h^2 + \frac{(a^2 - b^2 + c^2)^2}{4a^2}$$

$$\begin{align*}
h^2
&= c^2 - \frac{(a^2 - b^2 + c^2)^2}{4a^2}\\
&= \frac{4a^2 c^2 - (a^2 - b^2 + c^2)^2}{4a^2}\\
&= \frac{(2ac)^2 - (a^2 - b^2 + c^2)^2}{4a^2}\\
&= \frac{\{2ac + (a^2 - b^2 + c^2)\}\{2ac - (a^2 - b^2 + c^2)\}}{4a^2}\\
&= \frac{(a^2 + 2ac + c^2 - b^2)(b^2 -a^2 + 2ac - c^2)}{4a^2}\\
&= \frac{\{(a+c)^2 - b^2\}\{b^2 - (a^2 - c^2)\}}{4a^2}\\
&= \frac{(a+c+b)(a+c-b)\{b-(a-c)\}\{b+(a-c)\}}{4a^2}\\
&= \frac{(a+c+b)(a+c-b)(-a+b+c)(a+b-c)}{4a^2}\\
&= \frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4a^2}
\end{align*}$$

さらに、\(s = \frac{a+b+c}{2}\)とすると

$$\begin{align*}
h^2
&= \frac{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}{4a^2}\\
&= \frac{4}{a^2}s(s-a)(s-b)(s-c)
\end{align*}$$

h > 0であるから

$$\begin{align*}
h
&= \sqrt{\frac{4}{a^2}s(s-a)(s-b)(s-c)}\\
&= \frac{2}{a}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align*}$$

これで、三角形の高さhが求められました

よって、三角形の面積Sは

$$\begin{align*}
s
&= \frac{a\cdot h}{2}\\
&= \frac{1}{2}\cdot a \cdot \frac{2}{a}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\
&= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align*}$$

となり、ヘロンの公式が導出できました

 

 

まとめ

ヘロンの公式の2種類の導出方法について説明しました

三角関数を使わない方法でも導出できるので、まだ高校数学を学んでいない方も参考にしてみてください

 

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