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自然数の倍数の見分け方について解説

10という数字は2の倍数でもあり、5の倍数でもあります。

ある数が2の倍数であるための条件は、一の位の数が偶数であること。5の倍数であるための条件は、一の位の数が0か5であることです。

10という数字は、以上の条件から2の倍数でもあり、5の倍数でもあるとわかります。

 

2や5のような簡単なものであればすぐに見分けることができますが、7や11などの倍数の見分け方は知らない方も多いのではないでしょうか。

この記事では3、7、11などの自然数の倍数の見分け方について解説していきます。

見分け方を知っていると、最小公倍数や最大公約数を求めたり、素因数分解をするときに役立てることができますので、ぜひ覚えてみてください。

 

倍数の見分け方一覧

13より大きい数字のものはあまり使う場面がないかもしれません。

倍数見分け方
2の倍数一の位の数が偶数であるもの10348など
3の倍数各桁の数の和が3の倍数であるもの4482など
4の倍数下二桁が4の倍数または00であるもの35924など
5の倍数一の位が0か5であるもの6335など
6の倍数2の倍数と3の倍数の条件を満たすもの31944など
7の倍数一の位から三桁ごとに区切り、上位の数から引く(-)足す(+)を繰り返す
その数が7の倍数であるもの
2329292など
8の倍数下三桁が8の倍数であるもの、000であるもの11496など
9の倍数各桁の数の和が9の倍数であるもの582507など
10の倍数一の位が0であるもの5940など
11の倍数奇数桁の数の和と偶数桁の数の和の差が11の倍数であるもの379907など
13の倍数一の位から三桁ごとに区切り、下位の数から引く(-)足す(+)を繰り返す
その数が13の倍数であるもの
5933889など
17の倍数百の位以上の数の2倍と下二桁の数の差が17の倍数であるもの74324など
19の倍数上位の桁から順に2のべき乗(1,2,4...)をかけ合わせる
それらの数の和が19の倍数であるもの
862068など
23の倍数下一桁を除いた数と下一桁を7倍した数の和が23の倍数であるもの123901など
29の倍数上位の桁から順に3のべき乗(1,3,9...)をかけ合わせる
それらの数の和が29の倍数であるもの
105763など
31の倍数上位の桁から順に3のべき乗(1,3,9...)をかけ合わせる
上位の数から引く(-)足す(+)を繰り返した数が31の倍数であるもの
417229など

 

具体的な計算例

倍数の見分け方の計算の具体例を示していきます。

 

注意点

上の表の見分け方を使って計算した結果が大きい数字であり、その倍数であるかどうかがわかりにくい場合があります。

そのようなときは、同じ方法を繰り返すことで解決できます。

 

例えば9429794929979539629という数字が3の倍数であるか見分けたいとします。

3の倍数であるための条件は、「各桁の数の和が3の倍数であるもの」なので、各桁の数を足してみます。

9 + 4 + 2 + 9 + ... + 9 = 123

この123という数字が3の倍数であるかすぐにわからない場合は、もう一度123に対して各桁の数を足します。

1 + 2 + 3 = 6

6は3の倍数なので、123は3の倍数となります。

さらに123が3の倍数なので、9429794929979539629も3の倍数であることがわかりますね。

 

必要に応じて自身が直感的にわかる数が出てくるまで繰り返し計算しましょう。

 

2の倍数 計算例

10348は、一の位が8で偶数なので2の倍数となります。

 

3の倍数 計算例

4482のそれぞれの位の数を足し合わせると

4 + 4 + 8 + 2 = 18

18は3の倍数であるため、4482は3の倍数になります。

 

4の倍数 計算例

35924の下二桁は24であり、4の倍数であるため、35924は4の倍数になります。

 

5の倍数 計算例

6335の一の位の数は5であるため、6355は5の倍数となります。

 

6の倍数 計算例

31944の一の位は偶数であり、それぞれの位を足し合わせると

3+1+9+4+4 = 21

21は3の倍数であるため、31944は3の倍数であることがわかります。

2の倍数であり、3の倍数でもあるため、39144は6の倍数になります。

 

7の倍数 計算例

2329292を一の位から三桁ごとに2と329と292のように区切って、上位の数から引き足しを繰り返すと

2 - 329 + 292 = -35

35は7の倍数であるため、2329292は7の倍数になります。

 

8の倍数 計算例

11496の下三桁496を8で割ると

496 ÷ 8 = 62

であり、496は8の倍数であるから、11496も8の倍数になります。

 

9の倍数 計算例

582507の各桁の数を足し合わせると

5 + 8 + 2 + 5 + 0 + 7 = 27

27は9の倍数なので、582507も9の倍数となります。

 

10の倍数 計算例

5940の一の位が0であるため、5940は10の倍数となります。

 

11の倍数 計算例

379907の奇数桁の数の和と偶数桁の数の和はそれぞれ

3 + 9 = 12
7 + 8 + 7 = 23

その差は23 - 12 = 11で、11の倍数であるから

379907は11の倍数になります。

 

13の倍数 計算例

5933889を一の位から三桁ごとに5、933、889のように区切り、下位の数から引き足しを繰り返すと

889 - 933 + 5 = -39

39は13の倍数であるため、5933889は13の倍数となります。

 

17の倍数 計算例

74324の百の位以上の数を2倍して、下二桁との差を求めると

743 ✕ 2  - 24 = 1486 - 24 = 1462

繰り返して

14 ✕ 2 - 62 = -34

34は17の倍数であるから、74324も17の倍数となります。

 

19の倍数 計算例

862068の上位の数から順に2のべき乗をかけて足していくと

8 + 6 ✕ 2 + 2 ✕ 4 + 0 ✕ 8 + 6 ✕ 16 + 8 ✕ 32 = 380

380は19の倍数であるから、862068も19の倍数となります。

 

23の倍数 計算例

123901の下位一桁に7をかけて、下位一桁を除いた数を足すと

7 + 12390 = 12397

繰り返して

1239 + 49 = 1288

128 + 8 ✕ 7 = 184

18 + 4 ✕ 7 = 46

46は23の倍数なので、123901は23の倍数となります。

 

29の倍数 計算例

105763の上位の数から順に3のべき乗をかけて足していくと

1 + 0 ✕ 3 + 5 ✕ 9 + 7 ✕ 27 + 6 ✕ 81 + 3 ✕ 243 = 1450

繰り返して

1 + 4 ✕ 3 + 5 ✕ 9 = 58

58は29の倍数であるから、105763も29の倍数となります。

 

31の倍数 計算例

417229の上位の数から順に3のべき乗をかけて足していくと

4 - 1 ✕ 3 + 7 ✕ 9 - 2 ✕ 27 + 2 ✕ 81 - 9 ✕ 243 = -2015

繰り返して

2 - 0 ✕ 3 + 1 ✕ 9 - 5 ✕ 27 = -124

124は31の倍数であるから、417229も31の倍数になります。

 

それぞれの証明方法(記事作成中)

なぜこれらの方法で判別できるのでしょうか。

その証明方法については別の記事にまとめています。

気になる方はぜひご覧ください。

 

2の倍数の見分け方の証明

3の倍数の見分け方の証明

4の倍数の見分け方の証明

5の倍数の見分け方の証明

7の倍数の見分け方の証明

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