三角形の面積公式といえば「底辺×高さ/2」ですが、その他にもsinで表す方法もあります
二辺の長さとその間の角が分かっているときに使えます
公式
以下のような三角形において、面積Sは
$$S = \frac{1}{2}ab\sin{C} = \frac{1}{2}bc\sin{A} = \frac{1}{2}ca\sin{B}$$
となります
導出
頂点Aから線分BCに垂線を下ろすと、垂線の長さは\( c\sin{B} \)となるので
三角形の面積Sは
$$S = a \times b\sin{C} \div 2 = \frac{1}{2}ab\sin{C}$$
と、なります
\(\frac{1}{2}ca\sin{B}~~,~~\frac{1}{2}bc\sin{A}\)も同様にして求めることができます
練習問題
以下の三角形の面積を求めよ
(1)
(2)
解答
(1)\(S = \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin{60^\circ} = 10\sqrt{3}\)
(2)\(S = \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 4 \sin{30^\circ} = 5\)