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数学 高校数学

sinで表す三角形の面積公式と導出方法

三角形の面積公式といえば「底辺×高さ/2」ですが、その他にもsinで表す方法もあります

二辺の長さとその間の角が分かっているときに使えます

 

公式

以下のような三角形において、面積Sは

 

 

$$S = \frac{1}{2}ab\sin{C} = \frac{1}{2}bc\sin{A} = \frac{1}{2}ca\sin{B}$$

となります

 

導出

頂点Aから線分BCに垂線を下ろすと、垂線の長さは\( c\sin{B} \)となるので

 

 

三角形の面積Sは

$$S = a \times b\sin{C} \div 2 = \frac{1}{2}ab\sin{C}$$

と、なります

\(\frac{1}{2}ca\sin{B}~~,~~\frac{1}{2}bc\sin{A}\)も同様にして求めることができます

 

練習問題

以下の三角形の面積を求めよ

(1)

 

(2)

 

 

解答

(1)\(S = \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin{60^\circ} = 10\sqrt{3}\)

(2)\(S = \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 4 \sin{30^\circ} = 5\)

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