各桁の数の和が３の倍数であれば、その数は３の倍数
という判定方法の証明。
３桁の場合
自然数a,b,cを使って、百の位の数をa、十の位の数をb、一の位の数をcとおくと３桁の自然数Zは
$$Z = 100a + 10b + c$$
となる。変形して
$$Z = 3(33a + 3b) + (a + b + c)$$
\(3(33a + 3b)\)は３の倍数なので、\((a + b + c)\)が３の倍数ならば\(Z\)は３の倍数となる。
同様に
\(10^n\)の位の数を\(a_n\)とすると、自然数Nは
$$N = a_0 + 10a_1 \cdots 10^n a_n$$
となる。式変形して
$$N = 3(3a_1 + 33a_2 + \cdots + \frac{(10^n - 1)a_n}{3}) + (a_0 + a_1 + \cdots a_n)$$
ここで\(10^n -1\)が３の倍数であることは
\(n = 1\)のとき
$$10^1 -1 = 9$$
で成り立つ
\(n = k\)(kは自然数)のとき\(10^k -1\)が３の倍数であるすると、\(n=k+1\)のとき
$$10^{k+1} - 1 = 10(10^k - 1) + 9$$
ということから分かる。
\(3(3a_1 + 33a_2 + \cdots + \frac{(10^n - 1)a_n}{3})\)は３の倍数であるため、\((a_0 + a_1 + \cdots a_n)\)が３の倍数ならばNも３の倍数となる。