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中学数学 数学

アルハゼンの定理の証明方法について解説

「アルハゼンの定理」についてです

 

アルハゼンの定理とは

 

 

アルハゼンの定理は、上図のような図形における角度に関する定理です

アルハゼンの定理より

$$\angle APB = \angle ACB + \angle CBD \cdots ①$$

$$\angle AEB = \angle ACB - \angle CBD \cdots ②$$

が、成り立ちます

主に中学数学で、円が関係する図形の角度を求めるときに使えるものです

 

証明

証明はとても簡単です

まずは①の証明から

 

 

\(\triangle{BPC}\)に注目します

三角形の外角は、他の2つの内角の和に等しいから

$$\angle APB = \angle PCB + \angle CBP$$

となります

 

続いて②の証明

 

 

点Dにおいて

$$\angle BDE = 180 ^{\circ} - \angle ADP$$

次に、\(\triangle BDE\)に注目します

三角形の内角の和は180°であるから

$$\begin{align*}
\angle BED
&= 180^{\circ} - \angle BDE - \angle DBE\\
&= 180^{\circ} - (180 ^{\circ} - \angle ADP) - \angle DBE\\
&= \angle ADP - \angle DBE
\end{align*}$$

となる

ここで

$$\angle ADP = \angle ACB ~,~\angle DBE = \angle CBD$$

であるから

$$\angle AEB = \angle ACB - \angle CBD$$

となります

 

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