中学数学で暗記させられる二次方程式の解の公式
$$ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)…①$$
の解は
$$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$
で求められる
皆さまはこれの導出ってできますか？
実は平方完成を使えば簡単に導出できます
解の公式の導出
①の左辺をaでまとめて
$$a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c = 0$$
左辺の平方完成を目指す
$$a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}) - \frac{b^2}{4a}+c = 0$$
$$a(x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a} - c$$
両辺をaで割って右辺を整理して
$$(x^2 + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$
両辺にルートをかけて
$$x+\frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
x = の形に直すと
$$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
平方完成について
この記事を読んでいる中学生や、数学が苦手な方は先程の証明の
$$a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}) - \frac{b^2}{4a}+c = 0$$
$$a(x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a} - c$$
の変形が少し難しく感じるかもしれません
平方完成とは名前の通り、2乗の形を目指して変形していくことで、先ほどのようにxの二次方程式だと
$$(x-p)^2$$のような形を完成させることです
こういうものは慣れですので、ひたすら手を動かしてください
高校数学では必須のテクニックです
おまけ：三次方程式の解の公式
二次方程式に解の公式があるように、三次方程式にも解の公式が存在します
気になる方はこちらの記事をご覧ください