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二次方程式 解の公式の導出

中学数学で暗記させられる二次方程式の解の公式

 

$$ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)…①$$

の解は

$$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

で求められる

 

皆さまはこれの導出ってできますか?

実は平方完成を使えば簡単に導出できます

 

解の公式の導出

①の左辺をaでまとめて

$$a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c = 0$$

左辺の平方完成を目指す

$$a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}) - \frac{b^2}{4a}+c = 0$$

$$a(x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a} - c$$

両辺をaで割って右辺を整理して

$$(x^2 + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$

両辺にルートをかけて

$$x+\frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

x = の形に直すと

$$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

 

平方完成について

この記事を読んでいる中学生や、数学が苦手な方は先程の証明の

$$a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}) - \frac{b^2}{4a}+c = 0$$

$$a(x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a} - c$$

の変形が少し難しく感じるかもしれません

平方完成とは名前の通り、2乗の形を目指して変形していくことで、先ほどのようにxの二次方程式だと

$$(x-p)^2$$のような形を完成させることです

こういうものは慣れですので、ひたすら手を動かしてください

高校数学では必須のテクニックです

 

おまけ:三次方程式の解の公式

二次方程式に解の公式があるように、三次方程式にも解の公式が存在します

気になる方はこちらの記事をご覧ください

三次方程式に解の公式がある!?

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