大学数学

高階の完全微分方程式の解法について解説

今回は高階完全微分方程式の解法について解説します。

高階の完全微分方程式の解法

$$a_{0}y^{(n)} + a_{1}y^{(n-1)} + a_{2}y^{(n-2)} + …… + a_{n}y = f(x) \cdots ①$$

のような高階の微分方程式において

$$a_{n} - a_{n-1}' + a_{n-2}'' + … + (-1)^{n}a_{0}^{(n)} = 0$$

が成り立つとき①は高階の完全微分方程式となります。

解法

①について

$$b_{0} = a_{0} , b_{1} = a_{1} - a_{0}'  , b_{n} = a_{n} - a_{n-1}' + a_{n-2}'' + … + (-1)^{n}a_{0}^{(n)}$$

のようにおくと、①の第一積分は

$$b_{0}y^{(n-1)} + b_{1}y^{(n-2)} + b_{2}y^{(n-3)} + …… + b_{n-1}y = \int_{}^{}{f(x)}dx \cdots ②$$

のようになる。さらに②の第一積分を求め、この作業を繰り返すと一般解を求めることができます。

例題で確認してみましょう。

練習問題

次の微分方程式の一般解を求めよ

(1)

$$(x^{2}+1)y'' + 4xy' + 2y = 6x cdots ③$$

(2)

$$(x^3 + 2x + 1)y'''+(9x^2+6)y''+18xy'+6y = 48x \cdots ④$$

【解答】

(1)$$2 - (4x)' + (x^{2}+1)'' = 0$$より③は完全微分方程式である。

$$b_{0} = x^2 + 1,b_{1} = 4x -(x^{2}+ 1)' = 2x$$

とおくと、③の第一積分は

$$(x^{2} + 1)y' + 2xy = 3x^2 + C_{1} \cdots ③'$$

さらに③'において$$2x - (x^2 + 1)' = 0$$より③'は完全微分方程式である。$$c_{0} = x^2 + 1$$より③'の第一積分は$$(x^2 + 1)y = x^3 + C_{1}x + C_{2}$$となり一般解が求められました。

(2)

$$6-(18x)' + (9x^2+6)'' - (x^3 + 2x + 1)''' = 0$$

より④は完全微分方程式である

$$b_{0} = x^3 + 2x + 1 , b_{1} = (9x^2+6) - (x^3 + 2x + 1)' = 6x^2+4$$
$$b_{2} = 18x-(9x^2+6)' + (x^3 + 2x + 1)'' = 6x$$

と置くと、④の第一積分は

$$(x^3 + 2x + 1)y'' + (6x^2+4)y' + 6xy = 24x^2+C_{1} \cdots ④'$$

さらに④'において

$$6x - (6x^2+4)' + (x^3 + 2x + 1)'' = 0$$

より④'は完全微分方程式である

$$c_{0} = (x^3 + 2x + 1) , c_{1} = (6x^2+4) - (x^3 + 2x + 1)' = 3x^2 + 2$$

より④'の第一積分は

$$(x^3 + 2x + 1)y' + (3x^2 + 2)y = 8x^3 + C_{1}x + C_{2} \cdots ④''$$

さらに④''において$$(3x^2+2) - (x^3+2x+1)' = 0$$より④''は完全微分方程式である。

$$d_{0} = (x^3 + 2x + 1)$$より④''の第一積分は$$(x^3+2x+1)y = 2x^4+\frac{C_{1}x^2}{2}+C_{2}x + C_{3}$$

となり一般解が求められました。

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