大学数学

微分演算子とは? 性質と使い方について解説

今回は微分演算子について解説します。

微分演算子とは

y=f(x)のような関数の導関数は$$\frac{d}{dx}$$や「'」を用いて表しますが、これ以外にも記号Dを用いて

$$\frac{dy}{dx} = Dy , \frac{d^2y}{dx^2} = D^{2}y , \frac{d^{n}y}{dx^n} = D^{n}y$$

のように表すことができます。この記号Dのことを微分演算子といいます。

さらに多項式

$$f(x) = x^{(n)} + a_{1}x^{(n-1)} + a_{2}x^{(n-2)} + … + a_{1}x + a_{0} = 0$$

のxをDにおきかえたf(D)も微分演算子といいます。さらにこの微分演算子の逆数$$\frac{1}{f(D)}$$を逆演算子といいます。

 

基本公式

微分演算子と逆演算子には以下のような性質があります。

$$\frac{1}{D}F(x) = \int_{}^{}{F(x)}dx$$

$$D^{n}e^{αx} = α^{n}e^{αx}$$

$$D^{n}(e^{αx}g(x)) = e^{αx}(D + α)^{n}g(x)$$

$$\frac{1}{D-α}f(x) = e^{αx}\int_{}^{}{e^{-αx}f(x)}dx$$

$$\frac{1}{(D-α)^{n}}e^{αx} = \frac{x^n}{n!}e^{αx}$$

$$\frac{1}{f(D)}e^{αx} = \frac{e^{αx}}{f(α)}$$

$$\frac{1}{f(D)}(e^{αx}f(x)) = e^{αx}\frac{1}{f(D+α)}f(x)$$

$$\frac{1}{f(D^2)}cosαx = \frac{cosαx}{f(-α^2)}$$

$$\frac{1}{f(D^2)}sinαx = \frac{sinαx}{f(-α^2)}$$

$$\frac{1}{D^2+ α^2}cosαx = \frac{xsinαx}{2α}$$

$$\frac{1}{D^2+ α^2}sinαx = -\frac{xcosαx}{2α}$$

$$\frac{1}{1-D}f(x) = (1 + D + D^2 + … + D^n)f(x)$$

ではこれらを使って練習問題で確認していきましょう。

練習問題

次の各式を計算せよ(任意定数は省略)

(1)$$\frac{1}{D}2x$$

(2)$$\frac{1}{(D+1)(D+3)}e^x$$

(3)$$\frac{1}{D-3}x$$

(4)$$\frac{1}{D-3}e^{3x}$$

(5)$$\frac{1}{D^2 - D - 1}(x^2)$$

(6)$$\frac{1}{D^4 - 2D^2}cos3x$$

(7)$$\frac{1}{D^2 - 2D + 2}e^{x}sin2x$$

【解答】

(1)$$\frac{1}{D}2x = x^2 + C$$

(2)

$$\frac{1}{(D+1)(D+3)}e^x = \frac{1}{(1+1)*(1+3)}e^x = \frac{1}{8}e^x$$

(3)$$\frac{1}{D-3}x = e^{3x}\int_{}^{}{e^{-3x}x}dx$$ここで部分積分より$$\int_{}^{}{e^{-3x}x}dx = -\frac{1}{3}xe^{-3x} - \frac{1}{9}e^{-3x}$$であるから

$$\frac{1}{D-3}x = e^{3x}(-\frac{1}{3}xe^{-3x}-\frac{1}{9}{e^{-3x}}) = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{9}$$

(4)

$$\frac{1}{D-3}e^{3x} = \frac{1}{(D-3)^{1}}e^{3x} = \frac{x^1}{1!}e^{3x} = xe^{3x}$$

(5)

$$\frac{1}{D^2 - D - 1}x^2 = -\frac{1}{1-(D^2-D)}x^2$$
$$= -(1 + (D^2 -D) + (D^2 - D)^2)x^2 = -(1-D+2D^2)x^2 = -x^2 + 2x - 4$$

(6)

$$\frac{1}{D^4 - 2D^2}cos3x = \frac{cos3x}{(-9)^2 -2(-9)} = \frac{cos3x}{99}$$

(7)

$$\frac{1}{D^2 - 2D + 2}e^{x}sin2x = e^{x}\frac{1}{(D+1)^2 -2(D+1) + 2}sin2x$$
$$= e^x\frac{1}{D^2+1}sin2x = e^x\frac{1}{-4+1}sin2x = -\frac{1}{3}e^{x}sin2x$$

 

間違い、質問等あればコメントよろしくお願いします。

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