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大学数学

行列のかけ算のやり方について解説【行列の積】

今回は行列のかけ算のやり方について解説します。

行列の積の性質

行列Aのi行目の要素をa_i1,a_i2,……,a_in行列Bのj列目の要素をb_1j,b_2j……b_njとするとAとBの行列の積ABのi行j列目の要素ab_ijは

$$ab_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + …… + a_{in}b_{nj}$$

となります。
例えば次の2×2の行列A、Bの積ABについて考えます。$$AB = \left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 1 & 3\end{array} \right]\left[\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ 2 & 3\end{array} \right]$$これは先ほどの定義より$$AB = \left[\begin{array}{rr} 3+4 & 1+6 \\ 3+6 & 1+9\end{array} \right] = \left[\begin{array}{rr} 7 & 7 \\ 9 & 10\end{array} \right]$$となります。

では次の行列の積はどうなるでしょうか。$$\left[\begin{array}{rr} 2 & 4 \\ 2 & 0 \\ 1 & 2\end{array} \right]\left[\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 1\\0 & 1 & 1\end{array} \right]$$これは(3×2の行列)×(2×3の行列)です。これも先ほどの定義より計算すると$$\left[\begin{array}{rrr} 2 & 10 & 6\\2 & 6 & 2 \\ 1 & 5 & 3\end{array} \right]$$となります。

このように行列の積の形は(左の行列の行の数)×(右の行列の列の数)となります。
1つ目の例では(2×2の行列)×(2×2の行列) = (2×2の行列)となっており、
2つ目の例では(3×2の行列)×(2×3の行列) = (3×3の行列)となっていますね。

また左の行列の列の数と右の行列の行の数が一致していないとき、行列の積は存在しません。
例えば(2×2の行列)×(3×2の行列)では左の行列の列の数と右の行列の行の数が一致していないため積は存在しません。
しかしこれが逆になると(3×2の行列)×(2×2の行列)となるため左の行列の列の数と右の行列の行の数が一致しており積を計算することができます。

これからわかるように行列の積では必ずしもAB=BAは成り立ちません

ここまでをまとめると「行列の積は左の行列の列の数と右の行列の行の数が一致しているときのみ存在し、その形は(左の行列の行の数)×(右の行列の列の数)である」ということです。
それでは練習問題をやってみましょう。

練習問題

次の行列の積を求めよ。
(1)$$\left[\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 5 & 1 \\ 2 & 3\end{array} \right]\left[\begin{array}{rrr} 3 & 1 & 2\\6 & 5 & 2\end{array} \right]$$
(2)$$\left[\begin{array}{rrr} 6 & 2 & 3\\5 & 4 & 2 \\1 & 2 & 6\end{array} \right]\left[\begin{array}{rrr} 5 & 3 & 2\\1 & 0 & 2 \\1 & 2 & 2\end{array} \right]$$
(3)$$\left[\begin{array}{rrr} 5 & 3 & 2\\1 & 0 & 2 \\1 & 2 & 2\end{array} \right]\left[\begin{array}{rrr} 6 & 2 & 3\\5 & 4 & 2 \\1 & 2 & 6\end{array} \right]$$

【解答】
(1)$$\left[\begin{array}{rrr} 24 & 17 & 10\\21 & 10 & 12 \\ 24 & 17 & 10\end{array} \right]$$
(2)$$\left[\begin{array}{rrr} 35 & 24 & 22\\31 & 19 & 22 \\13 & 15 & 18\end{array} \right]$$
(3)$$\left[\begin{array}{rrr} 47 & 26 & 33\\8 & 6 & 15 \\18 & 14 & 19\end{array} \right]$$

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