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大学数学

積分因子を求めて微分方程式を解く

$$P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0……………①$$

において
$$P_y(x,y)dx = Q_x(x,y)dy$$
が成り立たないとき完全微分系ではないため、完全微分方程式の解法で①の微分方程式を解くことができません。
こんなときに使用するのが「積分因子」というものです。
積分因子を用いることで①の微分方程式を完全微分方程式にすることができます。
今回の内容を理解するために以下の記事をはじめに読んでおくことをお勧めします。

完全微分方程式の判定と解法

積分因子の求め方と微分方程式の解法

完全微分系でない微分方程式①が
$$\frac{P_y - Q_x}{Q} = f(x)$$
であるとき、積分因子は
$$e^{\int_{}{}^{f(x)}dx}$$
になり、
$$\frac{P_y - Q_x}{P} = f(y)$$
であるとき、積分因子は
$$e^{-\int_{}{}^{f(y)}dy}$$
になります。

求めた積分因子を微分方程式の両辺にかけると完全微分方程式になるため、完全微分方程式の解法で解くことができます。
では少し練習してみましょう。

練習問題

積分因子を使って次の微分方程式Ⓐ、Ⓑの一般解を求めよ。

$$(x^{2}y - \frac{xy^{2}}{2} + y)dx + (x-y)dy = 0……………Ⓐ$$
$$(ylogy)dx + xdy = 0……………Ⓑ$$

【解答】

$$(x^{2}y - \frac{xy^{2}}{2} + y)_y = x^{2} - xy + 1$$
$$(x-y)_x = 1$$
であるから完全微分系ではない。よって積分因子を求める。
$$\frac{x^{2} - xy + 1 -1}{x-y} = \frac{x(x-y)}{x-y} = x$$
より積分因子は
$$e^{\int_{}{}^{xdx}} = e^{\frac{x^2}{2}}$$
であるからⒶの両辺に積分因子をかけて

$$(x^{2}y - \frac{xy^{2}}{2} + y)e^{\frac{x^2}{2}}dx + (x-y)e^{\frac{x^2}{2}}dy = 0……………Ⓐ'$$

となる。Ⓐ'において

$$e^{\frac{x^2}{2}}(x^{2}y - \frac{xy^{2}}{2} + y)_y = e^{\frac{x^2}{2}}(x^2 -xy + 1)$$

$$e^{\frac{x^2}{2}}(x-y)_x = e^{\frac{x^2}{2}}(x^2 -xy + 1)$$
であるからⒶ'は完全微分方程式である。よって一般解は完全微分方程式の解法より
$$\int_{0}^{x}{0}dx + \int_{0}^{y}{(x-y)e^{\frac{x^2}{2}}}dy = C$$
$$e^{\frac{x^2}{2}}(xy - \frac{y^{2}}{2}) = C$$
となり、一般解が求められました。


$$(ylogy)_y = logy + 1$$
$$x_x = 1$$
であるから完全微分系ではない。よって積分因子を求める。
$$\frac{logy + 1 - 1}{ylogy} = \frac{1}{y}$$
より積分因子は
$$e^{-\int_{}{}^{\frac{1}{y}}dy} = \frac{1}{y}$$
であるからⒷの両辺に積分因子をかけて

$$(logy)dx + \frac{x}{y}dy = 0……………Ⓑ'$$

となる。Ⓑ'において
$$(logy)_y = \frac{1}{y}$$
$$(\frac{x}{y})_x = \frac{1}{y}$$
であるからⒷ'は完全微分方程式である。よって一般解は完全微分方程式の解法より
$$\int_{0}^{x}{logy}dx + \int_{0}^{y}{0}dy = C$$
$$xlogy = C$$
となり、一般解が求められました。

 

 

 

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