大学数学

1階の高次微分方程式の解き方について解説

$$(\frac{dy}{dx})^{n} + Q_{1}(x,y)(\frac{dy}{dx})^{n-1} + \cdots + Q_{n-1}(x,y)\frac{dy}{dx} + Q_{n}(x,y)y = 0$$

のような微分方程式を「1階の高次微分方程式」といいます。
今回はこのような微分方程式の解き方について解説します。

型によって解法が異なる

今回は以下の4つの型の1階の高次微分方程式に分類します。

1.x = f(y')型の微分方程式

y' = pとおいて、x = f(p)として考えます。$$p = \frac{dy}{dx}$$より$$dy = pdx = p\frac{dx}{dp}dp = p\frac{df(p)}{dp}dp$$となり、これを利用すると解くことができます。

2.y = f(y')型の微分方程式

これもy' = pとおいて、x = f(p)として考えます。$$p = \frac{dy}{dx}$$より$$dx = \frac{dy}{p} = \frac{dy}{dp}\frac{dp}{p} = \frac{df(p)}{dp}\frac{dp}{p}$$となり、これを利用すると解くことができます。

3.y = f(x,y')型の微分方程式

これもy' = pとおいて考えます。

両辺をxで微分してpとxに関する微分方程式に変形することで解くことができます。

4.それ以外の型

これもy' = pとおいて考えます。

pについての方程式と考え、因数分解して解くことで解くことができます。

 

説明だけではよくわからないと思うので練習問題で確認してみましょう。

練習問題

次の微分方程式の一般解を求めよ。

(1)$$x + cos(\frac{dy}{dx}) - \frac{dy}{dx}sin(\frac{dy}{dx})= 0$$

(2)$$2log((\frac{dy}{dx})^2 + 1) + 1 - 4y = 0$$

(3)$$y = x(\frac{dy}{dx}-1)$$

(4)$$(\frac{dy}{dx})^3 + (y-x)\frac{dy}{dx} - xy\frac{dy}{dx} = 0$$

 

【解答】

(1)y' = pとおいて整理すると$$x = psin(p) - cos(p)$$となる。$$f'(p) = 2sin(p) + pcos(p)$$であるから$$dy = p\frac{df(p)}{dp}dp$$を利用して$$dy = p(2sin(p) + pcos(p))dp$$

$$y = \int_{}^{}{p(2sin(p) + pcos(p))}dp = -2pcos(p) + 2sin(p) + p^{2}sin(p) + 2pcos(p) - sin(p) + C = p^{2}sin(p) + sin(p) + C$$

よって微分方程式の一般解は媒介変数pを用いて$$\begin{cases}x = psin(p) - cos(p)\\y = (p^{2}+1)sin(p) + C\end{cases}$$となる。

(2)y' = pとおいて整理すると$$y = \frac{1}{2log(p^2 + 1)} + \frac{1}{4}$$となる。$$f'(p) = \frac{p}{1+p^2}$$であるから$$dx = \frac{df(p)}{dp}\frac{dp}{p}$$を利用して$$dx = \frac{p^2}{1+p^2}dp$$$$x = p - tan^{-1}(p) + C$$よって微分方程式の一般解は媒介変数pを用いて$$\begin{cases}x = p - tan^{-1}(p) + C\\y = \frac{1}{2log(p^2 + 1)} + \frac{1}{4}\end{cases}$$となる。

(3)y' = pとおいて両辺をxで微分すると$$p = (p-1) + x\frac{dp}{dx}$$$$\frac{dp}{dx} = \frac{1}{x}$$$$p = log|x| + C_{1}$$よってこのpを与式に代入すると$$y = x(log|x| + C) \cdots (C = C_{1} -1)$$となる。

(4)y' = pとおいてこの微分方程式の左辺を因数分解すると$$p(p - x)(p + y) = 0$$p = 0から$$y = C$$p = xから$$y = x^{2} + C$$p = -yから$$y = -Ce^(x)$$であるから微分方程式の一般解は$$(C-y)(x^2 + C - y)(Ce^{x} + y) = 0$$となる。

((1)~(4)のCは任意定数)

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