工業力学 機械工学

工業力学 8章 解答解説

8.1

重心の移動を考える。

重心の位置は横倒しのときは0.15[m]、直立のときは2.5[m]

よって

$$W = Fx = 0.15^2 * 5 * 2500 * 9.8 *(2.5 - 0.15) = 2.03*10^4[J]$$

8.2

質量500[kg]の物体とロープに分けて考えると

$$W = Fx = 500*9.8*30 + \int_{20}^{50}{2x}dx * 9.8 = 147000 + 2100*9.8 = 168[kJ]$$

8.3

自然長をXとする。重りと伸びの比率より

$$200:(10 - X) = 350:(13 - X)$$

$$X = 0.06[m]$$

F = kxより$$0.2 * 9.8 = k * 0.04$$

$$k = 49[N/m]$$

10[cm]にするためのエネルギーW_1は

$$W_1 = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}*49*0.04^2 = 3.92*10^{-2}$$

15[cm]にするためのエネルギーW_2は

$$W_2 = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}*49*0.09^2 = 1.98*10^{-1}$$

よって必要なエネルギーEは$$E = W_2 - W_1 = 1.6*10^{-1}[J]$$

8.4

$$E = \frac{1}{2}m(v^2 - v_{0}^2) = \frac{1}{2}*3 * (15^2 - 10^2)$$

8.5

失ったエネルギーEは「最初の位置エネルギー」-「床に達したときの運動エネルギー」であるから

$$E = Mgh - \frac{1}{2}mv^2 = 2*0.2*9.8 - \frac{1}{2}*2*0.1^2 = 3.91[J]$$

8.6

「最初の位置エネルギー」=「10[cm]縮んだときの弾性エネルギー」より、自然長からの高さをxとすると$$Mgh = \frac{1}{2}kx^2$$$$3*9.8*(x+0.1) = \frac{1}{2}*2000*0.1^2$$$$x = 0.24[m]$$

8.7

8.6と同様に考えて$$\frac{1}{2}kx^2 = Mgh$$$$\frac{1}{2}*3000*0.1^2 = 0.03*9.8*h$$$$h = 51[m]$$

8.8

急に手を離したときはエネルギー保存則が成り立つから$$Mgx = \frac{1}{2}kx^2$$$$x = \frac{2Mg}{k}$$

静かに手を離したときは力のつり合いが成り立つから$$kx = Mg$$$$x = \frac{Mg}{k}$$

8.9

落ちることなく1回転させるためには図の赤の位置で「遠心力」≧「重量」が成り立てばよい。

赤の部分の速度はエネルギー保存則より$$Mgh = 2Mgr + \frac{1}{2}Mv^2$$$$v = \sqrt{2g(h-2r)}$$

$$Mg ≦ M\frac{v^2}{r} ≦ M\frac{2g(h-2r)}{r}$$

$$h≧\frac{5}{2}r$$

8.10

木の抵抗力をF、弾丸の質量をmとすると$$\frac{1}{2}mv^2 = Fx$$$$F = 25*100^2m$$これを$$\frac{1}{2}*250^2m = Fx$$に代入して$$x = 0.125[m]$$

8.11

5[kg]、3[kg]の球の衝突後の速さをそれぞれv_1'、v_2'とする。

運動量保存則とはねかえり係数より$$mv = mv'$$$$5*8+3*5 = 5v_1' + 3v_2'$$$$55 = 5v_1' + 3v_2'$$$$e = -\frac{v_1' - v_2'}{8-5}$$$$-1.8 = v_1' - v_2'$$よって$$v_1' = 6.2[m/s] , v_2' = 8.0[m/s]$$

損失したエネルギーEは

$$\begin{align*}
E
&= \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv'^2\\
&=\frac{1}{2}{5*8^2 + 3*5^2 - \frac{1}{2}(5*6.2^2+3*8^2)} \\
&= 5.4[J]
\end{align*}$$

8.12

1000[mm^3]は1[kg]であるから、1000[m^3]は1*10^6[kg]、よって

$$P = \frac{W}{t} = \frac{1*10^5*9.8*50}{3600} = 1.36*10^5[W]$$

8.13

1馬力(PS) ≒ 735[W]より

$$P = \frac{W}{t} = \frac{100*10*9.8}{5} = 1960[W]≒2.7[PS]$$

8.14

$$P = \frac{3*10^3*20}{60} = 1000[W]$$

8.15

$$P = \frac{1*10^5*\frac{80}{1000}*120*10^3}{3600} = 2.67*10^5[W]$$

8.16

勾配を持たないとき$$F_1 = 2*10^5*\frac{100}{1000} = 2*10^4[N]$$1/1000の勾配を持つときこれに

$$F_2 = 2*10^5*9.8/1000=1.96*10^3[N]$$

が加わるからP = Fvより

$$800*10^3 = (F_1 + F_2)v = 21.96*10^3 v$$

$$v = 36.4[m/s]$$

8.17

$$P = Fv = \frac{240}{60}*8*10^3 = 3.2*10^4[W]$$

8.18

モータの半径を1[m]として考える。

350[N*m]/1[m] = 350[N]

3000[rpm] = 3000*2π/60[m/s]より

$$P = Fv = 1.1*10^5[W]$$

 

以上です。

間違い、質問などありましたらコメントよろしくお願いします。

 

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