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工業力学 機械工学

工業力学 9章 解答解説

加速度をa、質量をMまたはm、摩擦力をμ、垂直抗力をN、重力加速度をgとする

9.1

tanθ = 0.25より

θ = Arctan0.25 = 14.0[°]

9.2

斜面方向にはたらく力はMgsin15°、斜面に直角方向にはたらく力はMgcos15°であるから

$$μMgcos15° = Mgsin15°$$$$μ = tan15° = 0.27$$

9.3

水平方向にはたらく力は200*cos30°、鉛直方向にはたらく力は50g - 200sin30°であるから

求める加速度をa、質量をMとすると運動方程式より

$$Ma = 200cos30°-μ(Mg-200sin30°)$$
$$a = \frac{200cos30°-μ(Mg-200sin30°)}{M} = 1.1[m/s^2]$$

9.4

水平からの角度をθとするとx,y方向の運動方程式より

$$Mg = N + Fsinθ,Fcosθ = μN$$

Nを消去して$$F = \frac{μMg}{cosθ + μsinθ}$$これが最小になればよいのでcosθ+μsinθが最小になればよい。

よってcosθ+μsinθをθで微分して$$-sinθ + μcosθ = 0$$$$θ = Arctan(μ)$$

9.5

斜面方向の運動方程式より$$ma = mgsin45° - μmgcos45°$$

$$a = gsin45° - μgcos45° = 5.89[m/s^2]$$

等加速度直線運動の公式より$$x = \frac{1}{2}at^2$$$$t = \sqrt{\frac{2*5}{5.89}} = 1.3[s]$$

9.6

はしごと地面、はしごと壁の摩擦係数、垂直抗力をそれぞれμ_g、μ_w、N_g、N_wとする。

水平、鉛直方向のつり合いより$$N_w = μ_{g}N_{g}$$$$N_{g}+μ_{w}N_{w} = 90g$$よって$$N_{w} = \frac{36*9.8}{1.08},N_{g} = \frac{90*9.8}{1.08}$$

人のいる場所の高さをhとすると、地面とはしごの接触点におけるモーメントのつり合いより

$$30g*\frac{5}{2}cos60° + 60ghcos60° = N_{w}*5*sin60° + μ_{w}N_{w}*5*cos60°$$

これを整理してh = 4.1[m]

9.7

球の頂点から中心角θだけずらしたところに物体があるとすると、接線方向と垂直方向の力のつり合いより$$mgsinθ = μN , N = mgcosθ$$よって$$tanθ=μ = 0.2$$求める高さをhとすると$$h = rcosθ = \frac{r}{\sqrt{μ^2+1}} = 0.98r$$

$$sin^{2}θ + cos^{2}θ = 1$$より$$cosθ = \frac{1}{\sqrt{tan^2θ+1}}$$

9.8

遠心力よりも摩擦力が大きければ横滑りをしない。

$$μmg ≧ m\frac{v^2}{r}$$よって最大の速さは$$v = \sqrt{μrg} = 7.688[m/s] = 28[km/h]$$

9.9

F = 5*9.8*0.005 = 0.245[N]

9.10

$$F = \frac{1000*9.8*0.1}{30} = 33[N]$$

9.11

斜面方向の力のつり合いより$$mgsinθ = \frac{e}{r}mgcosθ$$$$tanθ = \frac{e}{r}$$$$θ = Arctan\frac{0.05}{2.5} = 1.1[°]$$

9.12

$$5*10^{4}*9.8*0.3 = M*\frac{40}{1000}$$より列車と電気機関車の総質量は$$M = 3.675*10^6$$これから電気機関車の質量を引いて$$m = M - 5*10^4 = 3.625*10^6$$

9.13

オイラーのベルト理論より$$\frac{T_2}{T_1} = e^{μ_{s}θ}$$であるから$$F = Te^{-μ2πn}$$

また、FはTのe^{μ2πn}分の1の大きさである

9.14

$$F = Te^{-μ2πn}$$$$300 = 1000*9.8e^{-μ_{s}6π}$$$$μ_{s} = \frac{ln(\frac{1000*9.8}{300})}{6π} = 0.19$$

9.15

モーメントのつり合いより$$200*1.2 + F*0.05 = F/μ$$よって$$F = \frac{200*1.2}{\frac{1}{0.3}-0.05} = 253[N]$$

9.16

$$F = \frac{lP(e^{μ_{k}θ}-1)}{-ae^{μ_{k}θ}+b}$$より$$P = F\frac{-ae^{μ_{k}θ}+b}{l(e^{μ_{k}θ}-1)} = 100[N]$$

 

使用した公式の導出はテキストに載っています。

間違い、質問等ありましたらコメントよろしくお願いします。

 

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