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Scilabでむだ時間要素のボード線図を描く方法

入力信号を加えてから,出力信号が生じるまでの時間をむだ時間と呼びます

むだ時間を\(\tau\)とすると、むだ時間要素の伝達関数は

$$G(s) = e^{-\tau s}$$

となります

指数関数は線形ではないため、これをScilabで記述してボード線図を描こうとすると、エラーが発生します

Scilabでむだ時間要素のボード線図を描くためには、線形近似をする必要があります

この記事では、線形近似のパデ近似というものについて解説し、パデ近似を使ってむだ時間要素のボード線図を描いていきます

 

パデ近似

パデ近似の考え方は、むだ時間要素の伝達関数\(e^{-\tau s}\)を有理伝達関数\(G_{l}(s)\)に近似しようとするものです

$$G_{l}(s) = \frac{b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots +b_{1}s^{1}+b_{0}}{a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s^{1}+a_{0}}\cdots ①$$

\(G_{l}(s) \approx e^{-\tau s}\)のような近似を目指します

 

\(e^{-s}\)をマクローリン展開すると

$$e^{-s} = 1 - s + \frac{s^2}{2!} - \frac{s^3}{3!} + \frac{s^4}{4!}\cdots②$$

となります

②でも近似はできていますが、①のような有利関数で表現したいので、sの係数ごとに\(n+m\)本の連立方程式を立式して、係数を求めることで\([n,m]\)次の近似を行います

 

例えば、[1,1]の近似であれば、まずは①をマクローリン展開して

$$\begin{align*}
G_{l}(s) &= \frac{b_{1}s+b_{0}}{a_{1}s+a_{0}}\\
&\approx \frac{b_{0}}{a_{0}} + \frac{a_{0}b_{1}-a_{1}b_{0}}{a_{0}^2}s + (\frac{a_{1}^{2}b_{0}}{a_{0}^3}+\frac{a_{1}b_{1}}{a_{0}^2})s^2 \cdots ③
\end{align*}$$

②,③の係数を比較すると

$$\begin{align*}
1  &= \frac{b_{0}}{a_{0}}\\
-1 &= \frac{a_{0}b_{1}-a_{1}b_{0}}{a_{0}^2}\\
\frac{1}{2} &= (\frac{a_{1}^{2}b_{0}}{a_{0}^3}+\frac{a_{1}b_{1}}{a_{0}^2})
\end{align*}$$

\(a_{0} = 1\)とすると係数は

$$a_{1} = \frac{1}{2}~,~b_{0} = 1~,~b_{1} = -\frac{1}{2}$$

のようになり、\(s \rightarrow \tau s\)とすると、以下のように[1,1]の近似ができました

$$e^{-\tau s} = \frac{1-\frac{\tau s}{2}}{1+\frac{\tau s}{2}}$$

[2,2]の近似も同様にして求められます

$$e^{-\tau s} = \frac{1-\frac{\tau s}{2}+\frac{(\tau s)^2}{12}}{1+\frac{\tau s}{2}+\frac{(\tau s)^2}{12}}$$

高次の近似を行えば精度は上がりますが、計算が面倒になるので次数の選び方には注意が必要です

 

むだ時間要素のボード線図の描き方

パデ近似した伝達関数を記述すれば、むだ時間要素のボード線図(もどき)を描くことができます

\(\tau = 0.01\)として、ボード線図(もどき)を描くと

 

 

ゲインはほぼ0[dB]であり、位相は周波数が大きくなるほど遅れが出ている、むだ時間要素のボード線図(もどき)を描くことができました

 

いい感じにズームを行えば

 

 

だいぶそれっぽくなっています

 

まとめ

この記事では、パデ近似を使ってむだ時間要素のボード線図を描いてみました

この記事で作成したボード線図は近似ですので、正確なボード線図ではありません

MATLABではパデ近似のための関数pade()が存在するため、MATLABを使う方が良いと思います

むだ時間要素のボード線図をScilabで描くのは、あまりおすすめできませんね

 

【参考】
http://arduinopid.web.fc2.com/N26.html

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