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断面二次モーメントの導出:円形

以下のような円形の断面二次モーメントについて考えます

 

 

 

z軸からyだけ離れたところの微少距離dyを考える

 

 

青い部分に注目すると、三平方の定理より

$$(\frac{L}{2})^2 + y^2 = (\frac{d}{2})^2$$
$$L = 2\sqrt{\frac{d^2}{4} - y^2}$$

であるから、赤色で示した微少部分の面積dAは

$$dA = 2\sqrt{\frac{d^2}{4} - y^2}dy$$

よって断面二次モーメントは

$$\begin{align*}
I_{z}
&= \int _A y^2 dA\\
&= \int_{-\frac{d}{2}}^{\frac{d}{2}}y^2 \cdot 2\sqrt{\frac{d^2}{4} - y^2} dy \cdots ①
\end{align*}$$

ここで\(y = \frac{d}{2}\sin \theta\)であるから、\( dy = \frac{d}{2}\cos{\theta}d\theta \)が成り立つ

また、積分範囲は

$$y$$$$-\frac{d}{2}$$$$\rightarrow$$$$\frac{d}{2}$$
$$\theta$$$$-\frac{\pi}{2}$$$$\rightarrow$$$$\frac{\pi}{2}$$

 

よって①を変換して計算すると

$$\begin{align*}
I_{z}
&= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d^2}{4} \sin ^2 \theta \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{d^2}{4} - \frac{d^2}{4} \sin ^2 \theta} \cdot \frac{d}{2}\cos \theta \cdot d\theta\\
&= \frac{d^4}{8}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 \theta cos ^2 \theta d\theta
\end{align*}$$

 

ここで、和と積の公式より

$$\sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{1}{2}\sin{2\theta}$$

半角の公式より

$$\sin ^2 \theta = \frac{1 - \cos{4\theta}}{2}$$

であるから

 

$$\begin{align*}
I_{z}
&= \frac{d^4}{8}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 \theta cos ^2 \theta d\theta\\
&= \frac{d^4}{32}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 2\theta d\theta\\
& = \frac{d^4}{32}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos{4\theta}}{2} d\theta\\
& = \frac{d^4}{32}\left[ \frac{\theta}{2} - \frac{\sin{4\theta}}{8} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\\
& = \frac{\pi d^4}{64}
\end{align*}$$

と、求められる

 

断面の端までの長さをaとすると、断面係数はZ = I / aで求められるので

$$Z = \frac{\pi d^3}{32}$$

表で示すと

形状断面二次モーメント断面係数
$$I_{z} = \frac{\pi d^4}{64}$$$$Z = \frac{\pi d^3}{32}$$

 

 

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