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無限大への発散速度の比較

\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } n~,~\displaystyle \lim_{ n \to \infty }n^2\)の値はどちらも\(\infty\)ですが、比較してみると明らかに\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }n^2\)の方が発散のスピードが速いことは分かると思います

この関係を「\(n^2\)は\(n\)よりも高位の無限大である」というように言います

また、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n}~,~\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\frac{1}{n^2}\)の値はどちらも\(0\)ですが、比較してみると明らかに\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\frac{1}{n^2}\)の方が0に近づくスピードが速いことは分かると思います

同じように、この関係を「\(\frac{1}{n^2}\)は、\(\frac{1}{n}\)よりも高位の無限小」というように言います

 

このように、無限小同士にも無限大同士にも速さの違いが存在します

そしてその速さの序列をオーダーと呼びます

 

\(n \rightarrow \infty\)のときのオーダーは以下の通りになります

$$\log{n} \ll n \ll e^n \ll n! \ll n^n$$

この序列を覚えておきましょう

 

練習問題

(1)$$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\frac{n!}{e^n}$$

(2)$$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\frac{n^n}{n!}$$

(3)$$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\frac{\log{n}}{n}$$

 

【解答】

(1)\(e^n \ll n!\)より

$$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\frac{n!}{e^n} = \infty$$

(2)\(n! \ll n^n\)より

$$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\frac{n^n}{n!} = \infty$$

(3)\(\log{n} \ll n\)より

$$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\frac{\log{n}}{n} = 0$$

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