大学数学

行列を使って連立1次方程式を解く【クラメルの公式】

行列を使って連立1次方程式を解く方法について解説します。

掃き出し法で解く方法についてはこちら

行列を使って連立1次方程式を解く【掃き出し法】

クラメルの公式とは

次のようなn個の式から成る連立方程式について考えます。

$$\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_2 + … + a_{1n}x_n=c_1\\ a_{21}x_{1}+a_{12}x_2 + … + a_{2n}x_n=c_2\\ ………………\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_2 + … + a_{nn}x_n=c_n\end{cases}$$

この連立方程式を行列で表すと次のようになります。

$$\left[\begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ … & … & … & … \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \end{array} \right]\left[\begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\…\\x_n\end{array} \right] = \left[\begin{array}{r} c_1 \\ c_2 \\…\\c_n\end{array} \right]$$

ここで$$A = \left[\begin{array}{rrrr} a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ … & … & … & … \\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \end{array} \right]$$とし、行列Aのi行目にbが入った行列式を

$$A_{i} = \left[\begin{array}{rrrrrr} a_{11} & a_{12} & … & c_1& … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & c_2& … & a_{2n}\\ … & … & … & … &…&…\\ a_{n1} & a_{n2} & … & c_n& … & a_{nn} \end{array} \right]$$

とするとn個の式から成る連立方程式の解は$$x_i = \frac{|A_{i}|}{|A|}$$となります。

これをクラメルの公式といいます。
練習問題で確認してみましょう。

練習問題

次の連立方程式をクラメルの公式を使って求めよ。
(1)$$\begin{cases}x + 7y = 19\\2x + 3y = 16\end{cases}$$
(2)$$\begin{cases}-x + 2y + z = 7 \\ x + y + 3z = 10 \\ 2x - 3y + 2z = -3\end{cases}$$

【解答】
(1)連立方程式を行列で表すと$$\left[\begin{array}{rr} 1 & 7 \\ 2 & 3\end{array} \right]\left[\begin{array}{r} x \\ y \end{array} \right] = \left[\begin{array}{r} 19 \\ 16 \end{array} \right]$$
ここで$$A = \left[\begin{array}{rr} 1 & 7 \\ 2 & 3\end{array} \right] , c = \left[\begin{array}{r}19 \\ 16\end{array} \right]$$とする。
ここでサラスの規則より$$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 7 \\ 2 & 3\end{vmatrix} = -11$$この1列目を行列bと入れ替えると、$$|A_{1}| = \begin{vmatrix} 19 & 7 \\ 16 & 3\end{vmatrix} = -55$$さらに2列目を入れ替えると、$$|A_{2}| = \begin{vmatrix} 1 & 19 \\ 2 & 16\end{vmatrix} = -22$$
よって解は$$x = \frac{-55}{-11} = 5 , y = \frac{-22}{-11} = 2$$

(2)連立方程式を行列で表すと$$\left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\2 & -3 & 2 \end{array} \right]\left[\begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[\begin{array}{r} 7 \\ 10 \\ -3 \end{array} \right]$$
ここで$$A = \left[\begin{array}{rrr} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\2 & -3 & 2 \end{array} \right] , c = \left[\begin{array}{r} 7 \\ 10 \\ -3 \end{array} \right]$$とする。
ここでサラスの規則より$$|A| = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & -3 & 2\end{vmatrix} = -8$$この1列目を行列bと入れ替えると$$|A_{1}| = \begin{vmatrix} 7 & 2 & 1 \\ 10 & 1 & 3 \\ -3 & -3 & 2\end{vmatrix} = -8$$$$|A_{2}| = \begin{vmatrix} -1& 7 & 1 \\ 1 & 10 & 3 \\ 2 & -3 & 2\end{vmatrix} = -24$$$$|A_{3}| = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 7 \\ 1 & 1 & 10 \\ 2 & -3 & -3\end{vmatrix} = -16$$
よって解は

$$x = \frac{-8}{-8} = 1 , y = \frac{-24}{-8} = 3 , z = \frac{-16}{-8} = 2$$

-大学数学

Copyright© どめブログ , 2021 All Rights Reserved.