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大学数学

1次独立と1次従属とは

今回は1次独立(線形独立)と1次従属(線形従属)について解説します。

1次独立1次従属とは

ベクトルの集合$$[x_{1} , x_{2} , x_{3} , … , x_{n}]$$の線形関係式$$c_{1}x_{1} + c_{2}x_{2} + … + c_{n}x_{n} = 0$$を満たす係数c_i(i = 1,2,…,n)が

(i)$$c_{1} = c_{2} = … = c_{n} = 0$$のみのときベクトルの集合は互いに1次独立または線形独立という。

(ii)係数のうち少なくとも一つが0でないときベクトルの集合は互いに1次従属または線形従属という。

判定法

ベクトルの集合、つまりベクトルを並べた行列が正方行列の場合、行列式が0でなければ1次独立、0なら1次従属です。

これだけではよくわからないと思うので例を示します。

例:次のそれぞれのベクトルは線形独立であるか線形従属であるか

$$x_{1} = \left( \begin{array}{c} 1  \\ 1 \end{array} \right) , x_{2} = \left( \begin{array}{c} -3  \\ 2 \end{array} \right)$$

行列$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$$について考えます。これの行列式は1*2 + 3*1 = 5より、0ではないので1次独立です。

結構簡単に求められますね。

では練習問題で演習しましょう。

練習問題

それぞれのベクトルは線形独立であるか線形従属であるか

(1)

$$x_{1} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 5 \end{array} \right) , x_{2} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 8 \end{array} \right) , x_{3} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 4 \end{array} \right)$$

(2)

$$x_{1} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) , x_{2} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ -4 \end{array} \right) , x_{3} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right)$$

【解答】

(1)

$$\begin{align*}
\begin{vmatrix} 1 & -1 & 3\\ 0 & 3 & -1 \\ 5 & 8 & 4\end{vmatrix}
&= 12+5+0-(45 - 8)\\
&= -20
\end{align*}$$

より、これらのベクトルは線形独立である。

(2)

$$\begin{align*}
\begin{vmatrix} 1 & 4 & 1\\ 3 & 5 & -4 \\ 1 & 2 & -1\end{vmatrix}
&= -5+6-16 - (5-12-8)\\
&= 0
\end{align*}$$

より、これらのベクトルは線形従属である。

 

間違い、質問等ありましたらコメントお願いします。

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