大学数学

行列の対角化について解説

今回は行列の対角化について解説します。

今回の内容の前提知識として固有値、固有ベクトルというものがあります。

これらについて知らない方はこちらの記事をご覧ください。

固有値と固有ベクトルの求め方を解説

また、逆行列の求め方について知らない方はこちらの記事もご覧ください。

掃き出し法を使って逆行列を求める

余因子行列を使って逆行列を求める

対角化とは

n次の正方行列Aがn個の異なる固有値λ_1,λ_2…λ_nを持ち、それぞれの固有値に対する線形独立な固有ベクトルx_1,x_2…x_nが存在するとき、行列Pを$$P = [x_{1} x_{2} \cdots x_{n}]$$とすると行列Aは次のように対角行列変形することができます。$$P^{-1}AP =  \begin{eqnarray}\left( \begin{array}{cccc} λ_{1} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 &λ_{2} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & λ_{n} \end{array} \right) \end{eqnarray}$$この作業のことを対角化と言います。

またPのことを変換行列と言います。

簡単にいうと「固有ベクトルを並べた行列を使って正方行列を対角行列に変形する」ということです。

しかし、すべての正方行列で対角化を行うことができるわけではありません。

正方行列が異なる固有値を持ち、それに対する固有ベクトルが線形独立(1次独立)でなければなりません。

(異なる固有値を持つのならば、それに対する固有ベクトルは線形独立ですので異なる固有値を持てば対角化可能と考えていただいて大丈夫です)

何の意味があるの

対角化行列を作るとn乗の計算が簡単にできるようになります。対角行列をBとして$$P^{-1}AP = B$$とすると両辺のn乗は

$$(P^{-1}AP)^{n} = (P^{-1}AP)*(P^{-1}AP)*…*(P^{-1}AP) = P^{-1}A^{n}P = B^{n}$$

整理して$$A^{n} = PB^{n}P^{-1}$$のようになります。Bは対角行列のためB^nの計算は簡単に行うことができます。

計算方法

例として次のような2×2の行列Aを対角化します。$$A = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$$

まず固有値を求めます。Ax = λxより(A-λE)x = 0、x≠0より$$|A-λE| = \begin{vmatrix} 4-λ & 5 \\ 3 & 2-λ\end{vmatrix} = 0$$より$$(4-λ)(2-λ)-15 = 0$$$$(λ-7)(λ+1) = 0$$よって固有値はλ=-1,7となります。

次にそれぞれの固有値に対する固有ベクトルを求めます。

(ⅰ)λ1 = -1を②に代入し、$$x_{1} = \left[\begin{array}{r} a_{1} \\ a_{2}\end{array} \right]$$とおくと$$\left[\begin{array}{rr} 5 & 5 \\ 3 & 3\end{array} \right]\left[\begin{array}{r} a_{1} \\ a_{2}\end{array} \right] = \left[\begin{array}{r} 0 \\ 0\end{array} \right]$$これより$$a_{1} + a_{2} = 0$$ここでa1 = k1(k1は任意定数)とおくとa2 = -k1であるからλ1に対応する固有ベクトルx1は$$x_{1} = k_{1}\left[\begin{array}{r} 1 \\ -1\end{array} \right]$$

(ⅱ)λ2 = 7を②に代入し、$$x_{2} = \left[\begin{array}{r} b_{1} \\ b_{2}\end{array} \right]$$とおくと$$\left[\begin{array}{rr} -3 & 5 \\ 3 & -5\end{array} \right]\left[\begin{array}{r} b_{1} \\ b_{2}\end{array} \right] = \left[\begin{array}{r} 0 \\ 0\end{array} \right]$$これより$$-3b_{1} + 5b_{2} = 0$$ここでb1 = k2(k2は任意定数)とおくと$$b_2 = \frac{3}{5}k_{2}$$であるからλ2に対応する固有ベクトルx2は$$x_{2} = k_{2}\left[\begin{array}{r} 1 \\ \frac{3}{5}\end{array} \right]$$

よって変換行列Pは$$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & \frac{3}{5} \end{bmatrix}$$となるので逆行列は$$P^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{3}{8} & -\frac{5}{8} \\ \frac{5}{8} & \frac{5}{8} \end{bmatrix}$$となり、Aを対角化すると$$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & \ 7 \end{bmatrix}$$となります。

練習問題

次の行列Aの逆行列を求めよ

$$A = \begin{eqnarray} \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{array} \right] \end{eqnarray}$$

【解答】

まず固有値を求めます。

Ax = λxより(A-λE)x = 0、x≠0より

$$|A-λE| = \begin{vmatrix} 2-λ & 1 & 0 \\ 3 & 1-λ & 1 \\ 0 & 3 & 2-λ\end{vmatrix} = 0$$

より

$$(2-λ)(2-λ)(1-λ) - 3(2-λ)-3(2-λ)= 0$$

$$(λ-2)(λ-4)(λ+1) = 0$$よって固有値はλ=-1,2,4

次に固有ベクトルを求めます。求めた固有値をそれぞれλ1,λ2,λ3とします。

(ⅰ)λ1 = -1を②に代入し、$$x_{1} = \left[\begin{array}{r} a_{1} \\ a_{2}\\ a_{3}\end{array} \right]$$とおくと$$\left[\begin{array}{rrr} 3 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 3\end{array} \right]\left[\begin{array}{r} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{array} \right] = \left[\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0\end{array} \right]$$これより$$\begin{cases}3a_{1} + a_{2} = 0\\ 3a_{1} + 2a_{2} + a_{3} = 0\\3a_{2} + 3a_{3} = 0\end{cases}$$ここでa1 = k1(k1は任意定数)とおくとa2 = -3k1、a3 = 3k1であるからλ1に対応する固有ベクトルx1は$$x_{1} = k_{1}\left[\begin{array}{r} 1 \\ -3 \\ 3\end{array} \right]$$

(ⅱ)λ2 = 2を②に代入し、$$x_{2} = \left[\begin{array}{r} b_{1} \\ b_{2}\\ b_{3}\end{array} \right]$$とおくと$$\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 0\end{array} \right]\left[\begin{array}{r} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}\end{array} \right] = \left[\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0\end{array} \right]$$これより$$\begin{cases}b_{2} = 0\\ 3b_{1} - b_{2} + b_{3} = 0\\3b_{2} = 0\end{cases}$$ここでb1 = k2(k2は任意定数)とおくとb3 = -3k2であるからλ2に対応する固有ベクトルx2は$$x_{2} = k_{2}\left[\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -3\end{array} \right]$$

(ⅲ)λ3 = 4を②に代入し、$$x_{3} = \left[\begin{array}{r} c_{1} \\ c_{2}\\ c_{3}\end{array} \right]$$とおくと$$\left[\begin{array}{rrr} -2 & 1 & 0 \\ 3 & -3 & 1 \\ 0 & 3 & -2\end{array} \right]\left[\begin{array}{r} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3}\end{array} \right] = \left[\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0\end{array} \right]$$これより$$\begin{cases}-2c_{1} + c_{2} = 0\\ 3c_{1} - 3b_{2} + c_{3} = 0\\3c_{2} - 2c_{3} = 0\end{cases}$$ここでc1 = k3(k3は任意定数)とおくとc2 = -2k3、c3 = -3k3であるからλ3に対応する固有ベクトルx3は$$x_{3} = k_{3}\left[\begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ -3\end{array} \right]$$

よって変換行列Pは$$P = \begin{eqnarray} \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ -3 & 0 & -2 \\ 3 & -3 & -3 \end{array} \right] \end{eqnarray}$$となり、逆行列は掃き出し法より$$P^{-1} = \begin{eqnarray} \left[ \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{6} \\ \frac{5}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{12} \\ -\frac{3}{4} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \end{array} \right] \end{eqnarray}$$となり、Aを対角化すると$$P^{-1}AP =  \begin{eqnarray} \left[ \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right] \end{eqnarray}$$となります。

まとめ

今回は行列の対角化について解説しました。

固有値、固有ベクトルが求められれば対角化のやり方はとても簡単です。

計算量が多いですが、線形代数の重要な分野なのでマスターしましょう。

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