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大学数学

同次系の微分方程式の解法

$$\frac{dy}{dx} = f(\frac{y}{x}) \cdots ①$$
のような形の微分方程式を同次系の微分方程式といいます。
今回はこの微分方程式の一般解の求め方を解説します。

手順

まず
$$\frac{y}{x} = u \cdots ②$$
とおきます。
y = uxより両辺をxで微分すると
$$\frac{dy}{dx} = u + \frac{du}{dx}x \cdots ③$$
②、③を①に代入すると
$$u + x\frac{du}{dx} = f(u)$$
$$x\frac{du}{dx} = f(u) - u$$
$$\int_{}^{}{\frac{1}{f(u)-u}}du = \int_{}^{}{\frac{1}{x}}dx$$
これからu,xの式が求められるので一般解が求められます。
練習問題を使って練習してみましょう

練習問題

次のⒶ~Ⓓの微分方程式の一般解を求めよ
$$\frac{dy}{dx} = 2\frac{y}{x}……………Ⓐ$$
$$xy' = 3x + 2y……………Ⓑ$$
$$xyy' + y^2 = 2x^2……………Ⓒ$$
$$y' = \frac{x-y}{x+y}……………Ⓓ$$

【解答】
まずⒶからやっていきます。
手順で述べたように
$$\frac{y}{x} = u$$
とおき
y = uxより両辺をxで微分すると
$$\frac{dy}{dx} = u + \frac{du}{dx}x$$
これらをⒶに代入して
$$u + \frac{du}{dx}x = 2u$$
$$\int_{}^{}{\frac{du}{u}} = \int_{}^{}{\frac{dx}{x}}$$
$$logu = logx + C_1$$
$$u = Cx(C = e^{C_1})$$
y/x = uより
$$y = Cx^{2}$$
となり一般解が求められました。


まず両辺をxで割って
$$y' = 3 + 2\frac{y}{x}$$
②、③を代入して
$$u + \frac{du}{dx}x = 3 + 2u$$
$$\frac{du}{dx}x = 3 + u$$
$$\int_{}^{}{\frac{1}{3 + u}}du = \int_{}^{}{\frac{1}{x}}dx$$
$$log(u + 3) = logx + C_1$$
$$u + 3 = Cx(C = e^{C_1})$$
y/x = uより
$$\frac{y}{x} + 3 = Cx$$
$$y = -3x + Cx^2$$
となり一般解が求められました。


両辺をxyで割って
$$y' + \frac{y}{x} = 2\frac{x}{y}$$
②、③を代入して
$$u + \frac{du}{dx}x + u = \frac{2}{u}$$
$$\frac{du}{dx}x = \frac{2}{u} -2u$$
$$x\frac{du}{dx} = 2\frac{1-u^2}{u}$$
$$\int_{}^{}{\frac{u}{1-u^2}}du = \int_{}^{}{\frac{2}{x}}$$
$$-\frac{1}{2}\int_{}^{}{\frac{(1-u^2)'}{1-u^2}}du = \int_{}^{}{\frac{2}{x}}$$
$$-\frac{1}{4}\int_{}^{}{1-u^2} = logx + C_1$$

$$log(1-u^2) + 4logx = C_2(C_2 = -4C_1)$$

$$x^4(1-u^2) = C(C = e^{C_2})$$
y/x = uより
$$x^4 - x^{2}y^{2} = C$$
となり一般解が求められました。


右辺の分母分子をxで割って
$$y' = \frac{1-\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}}$$
②、③を代入して
$$u + \frac{du}{dx}x = \frac{1-u}{1+u}$$

$$\frac{du}{dx}x = \frac{1-u}{1+u} -u = \frac{-u^2-2u+1}{1+u}$$

$$\int_{}^{}{\frac{u+1}{u^2+2u-1}}du = -\int_{}^{}{\frac{1}{x}}dx$$

$$\frac{1}{2}\int_{}^{}{\frac{(u^2+2u-1)'}{u^2+2u-1}}du = -\int_{}^{}{\frac{1}{x}}dx$$

$$\frac{1}{2}log(u^2+2u-1) = -logx + C_1$$

$$2logx + log(u^2+2u-1) = C_2(C_2 = 2C_1)$$

$$(u^2+2u-1)x^2 = C(C = e^{C_2})$$
y/x = uより
$$(y^2+2xy-x^2) = C$$
となり一般解が求められました。

質問などありましたらコメントお願いします。

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