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断面二次モーメントの導出:長方形

以下のような長方形の断面二次モーメントについて考えます

 

 

 

まずは、z軸周りの断面二次モーメントを求めます

以下の図のように、微少長さをdy、dyまでの長さをyとします

 

 

 

赤い微少部分の面積dAは

$$dA = bdy$$

と表されるので、z軸周りの断面二次モーメントは

$$\begin{align*}
I_{z}
&= \int _A y^2 dA\\
&= \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}y^2 bdy\\
&= b \left[  \frac{y^3}{3} \right]_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\\
&= \frac{bh^3}{12}
\end{align*}$$

となります

 

y軸まわりについても同じように考えて計算すると

$$\begin{align*}
I_{y}
&= \int _A z^2 dA\\
&= \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}z^2 hdz\\
&= h \left[  \frac{z^3}{3} \right]_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}\\
&= \frac{hb^3}{12}
\end{align*}$$

となります

 

またx軸まわりの断面二次モーメントは、平行軸の定理より

$$I_{x} = I_{z} + bh\cdot  \frac{h^2}{4} = \frac{bh^3}{3}$$

 

断面の端までの長さをaとすると、断面係数はZ = I / aで求められるので

$$Z_{y} = \frac{\frac{hb^3}{12}}{\frac{b}{2}} = \frac{hb^2}{6}~,~ Z_{z} = \frac{\frac{bh^3}{12}}{\frac{h}{2}} = \frac{bh^2}{6}~,~Z_{x} = \frac{\frac{bh^3}{3}}{h} = \frac{bh^2}{3}$$

のように求められます

 

グラフにすると

形状断面二次モーメント断面係数
長方形

 

$$I_{z} = \frac{bh^3}{12}$$$$Z = \frac{bh^2}{6}$$
$$I_{y} = \frac{hb^3}{12}$$$$Z = \frac{hb^2}{6}$$
$$I_{x} = \frac{bh^3}{3}$$$$Z_{x} = \frac{bh^2}{3}$$

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