以下のような長方形の断面二次モーメントについて考えます
まずは、z軸周りの断面二次モーメントを求めます
以下の図のように、微少長さをdy、dyまでの長さをyとします
赤い微少部分の面積dAは
$$dA = bdy$$
と表されるので、z軸周りの断面二次モーメントは
$$\begin{align*}
I_{z}
&= \int _A y^2 dA\\
&= \int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}y^2 bdy\\
&= b \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\\
&= \frac{bh^3}{12}
\end{align*}$$
となります
y軸まわりについても同じように考えて計算すると
$$\begin{align*}
I_{y}
&= \int _A z^2 dA\\
&= \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}z^2 hdz\\
&= h \left[ \frac{z^3}{3} \right]_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}\\
&= \frac{hb^3}{12}
\end{align*}$$
となります
またx軸まわりの断面二次モーメントは、平行軸の定理より
$$I_{x} = I_{z} + bh\cdot \frac{h^2}{4} = \frac{bh^3}{3}$$
断面の端までの長さをaとすると、断面係数はZ = I / aで求められるので
$$Z_{y} = \frac{\frac{hb^3}{12}}{\frac{b}{2}} = \frac{hb^2}{6}~,~ Z_{z} = \frac{\frac{bh^3}{12}}{\frac{h}{2}} = \frac{bh^2}{6}~,~Z_{x} = \frac{\frac{bh^3}{3}}{h} = \frac{bh^2}{3}$$
のように求められます
グラフにすると
| 形状 | 断面二次モーメント | 断面係数 |
| 長方形
| $$I_{z} = \frac{bh^3}{12}$$ | $$Z = \frac{bh^2}{6}$$ |
| $$I_{y} = \frac{hb^3}{12}$$ | $$Z = \frac{hb^2}{6}$$ | |
| $$I_{x} = \frac{bh^3}{3}$$ | $$Z_{x} = \frac{bh^2}{3}$$ |