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断面二次モーメントの導出:三角形

説明のために公式一覧のページと一部文字を変更しています

 

以下のような三角形の断面二次モーメントについて考えます

z軸は図心を通り、底辺に平行な軸です

 

 

z'軸からyだけ離れたところの微少距離dyを考える

 

 

ここで、赤い微少部分の微少面積dAは近似的に長方形です

長方形の短辺はdyであり、長辺は三角形の高さによって異なります

長辺はz'軸からの距離に対して反比例しますので

$$z' = py + q~~~(p,qは定数)$$

とおいて考えます

長辺の長さは、z'軸からの距離が0のときにb、z'軸からの距離がhのときに0であるため、代入すると

$$b = q~,~0=ph+q$$

より

$$p = -\frac{q}{h}~,~q = b$$

となるから、長辺の長さは

$$z' = \frac{b(h-y)}{h}$$

となります

微少部分の面積dAは長辺×短辺で表されるので

$$dA = \frac{b(h - y)}{h}dy$$

となります

z'軸まわりの断面二次モーメントは

$$\begin{align*}
I_{z'}
&= \int _A y^2 dA\\
&= \int_{0}^{h}y^2 \cdot \frac{b(h-y)}{h} dy \\
&= \frac{b}{h}\int_{0}^{h} (y^2 h - y^3)dy \\
&= \frac{b}{h}\left[ \frac{y^3}{3}h - \frac{y^4}{4} \right]_{0}^{h}\\
&= \frac{bh^3}{12}
\end{align*}$$

と、求められます

 

ここで、三角形の重心位置は底辺から高さh/3のところにある

三角形の面積をAとすると、z軸まわりのモーメントは、平行軸の定理より

$$I_{z'} = I_{z} + A(\frac{h}{3})^2$$

$$\begin{align*}
I_{z}
&= I_{z'} - A(\frac{h}{3})^2 \\
&= \frac{bh^3}{12} - \frac{bh}{2} \cdot \frac{h^2}{9} \\
&= \frac{bh^3}{36}
\end{align*}$$

と、求められました

 

断面の端までの長さをaとすると、断面係数はZ = I / aで求められるので

$$Z_{z'} = \frac{\frac{bh^3}{12}}{h} = \frac{bh^2}{12}~,~ Z_{{z}_{1}} = \frac{\frac{bh^3}{36}}{\frac{2}{3}h} = \frac{bh^2}{24}~,~Z_{{z}_{2}} = \frac{\frac{bh^3}{36}}{\frac{1}{3}h} = \frac{bh^2}{12}$$

のように求められます

 

表にしてまとめると以下のようになります

形状断面二次モーメント断面係数
$$I_{z'} = \frac{bh^3}{12}$$
$$I_{z} = \frac{bh^3}{36}$$
$$e_{1} = \frac{2}{3}h$$
$$e_{2} = \frac{1}{3}h$$
$$Z_{z'} = \frac{bh^2}{12}$$
$$Z_{{z}_{1}} = \frac{bh^2}{24}$$
$$Z_{{z}_{2}} = \frac{bh^2}{12}$$

 

 

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