大学数学

固有値と固有ベクトルの求め方を解説

今回は固有値と固有ベクトルの求め方について解説します。

固有値・固有ベクトルとは

ある正方行列Aについて$$Ax = λx \cdots ①$$を満たす列ベクトルx(x≠0)と実数λが存在するときλをAの固有値、xをλに対する固有ベクトルといいます。

・固有値の求め方
①を変形して$$(A-λE)x = 0 \cdots ②$$より$$|A-λE| = 0 \cdots ③$$となります。これを解くことによって固有値λを求めることができます。
また、③を固有方程式といいます。

・固有ベクトルの求め方
求めたそれぞれの固有値を②に代入して解くことでそれぞれの固有値に対応する固有ベクトルxを求めることができます。
固有ベクトルの定数倍も固有ベクトルであるので$$k_{1}\left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$$のように任意定数をつけます。

これだけでは分かりずらいと思うので練習問題で確認してみましょう。

練習問題

次の行列の固有値と固有ベクトルを求めよ。

(1)$$A = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$$
(2)$$A = \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{array} \right) \end{eqnarray}$$

【解答】

(1)まず固有値を求めます。

Ax = λxより(A-λE)x = 0、x≠0より$$|A-λE| = \begin{vmatrix} 4-λ & 5 \\ 3 & 2-λ\end{vmatrix} = 0$$より$$(4-λ)(2-λ)-15 = 0$$$$(λ-7)(λ+1) = 0$$よって固有値はλ=-1,7

次に固有ベクトルを求めます。求めた固有値をそれぞれλ1,λ2とします。

(ⅰ)λ1 = -1を②に代入し、$$x_{1} = \left[\begin{array}{r} a_{1} \\ a_{2}\end{array} \right]$$とおくと$$\left[\begin{array}{rr} 5 & 5 \\ 3 & 3\end{array} \right]\left[\begin{array}{r} a_{1} \\ a_{2}\end{array} \right] = \left[\begin{array}{r} 0 \\ 0\end{array} \right]$$これより$$a_{1} + a_{2} = 0$$ここでa1 = k1(k1は任意定数)とおくとa2 = -k1であるからλ1に対応する固有ベクトルx1は$$x_{1} = k_{1}\left[\begin{array}{r} 1 \\ -1\end{array} \right]$$

(ⅱ)λ2 = 7を②に代入し、$$x_{2} = \left[\begin{array}{r} b_{1} \\ b_{2}\end{array} \right]$$とおくと$$\left[\begin{array}{rr} -3 & 5 \\ 3 & -5\end{array} \right]\left[\begin{array}{r} b_{1} \\ b_{2}\end{array} \right] = \left[\begin{array}{r} 0 \\ 0\end{array} \right]$$これより$$-3b_{1} + 5b_{2} = 0$$ここでb1 = k2(k2は任意定数)とおくと$$b_2 = \frac{3}{5}k_{2}$$であるからλ2に対応する固有ベクトルx2は$$x_{2} = k_{2}\left[\begin{array}{r} 1 \\ \frac{3}{5}\end{array} \right]$$

固有ベクトルも求められました。

 

(2)同様に固有値から求めます。

Ax = λxより(A-λE)x = 0、x≠0より

$$|A-λE| = \begin{vmatrix} 2-λ & 1 & 0 \\ 3 & 1-λ & 1 \\ 0 & 3 & 2-λ\end{vmatrix} = 0$$

より

$$(2-λ)(2-λ)(1-λ) - 3(2-λ)-3(2-λ)= 0$$

$$(λ-2)(λ-4)(λ+1) = 0$$よって固有値はλ=-1,2,4

次に固有ベクトルを求めます。求めた固有値をそれぞれλ1,λ2,λ3とします。

(ⅰ)λ1 = -1を②に代入し、$$x_{1} = \left[\begin{array}{r} a_{1} \\ a_{2}\\ a_{3}\end{array} \right]$$とおくと$$\left[\begin{array}{rrr} 3 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 3\end{array} \right]\left[\begin{array}{r} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{array} \right] = \left[\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0\end{array} \right]$$これより$$\begin{cases}3a_{1} + a_{2} = 0\\ 3a_{1} + 2a_{2} + a_{3} = 0\\3a_{2} + 3a_{3} = 0\end{cases}$$ここでa1 = k1(k1は任意定数)とおくとa2 = -3k1、a3 = 3k1であるからλ1に対応する固有ベクトルx1は$$x_{1} = k_{1}\left[\begin{array}{r} 1 \\ -3 \\ 3\end{array} \right]$$

(ⅱ)λ2 = 2を②に代入し、$$x_{2} = \left[\begin{array}{r} b_{1} \\ b_{2}\\ b_{3}\end{array} \right]$$とおくと$$\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 0\end{array} \right]\left[\begin{array}{r} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}\end{array} \right] = \left[\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0\end{array} \right]$$これより$$\begin{cases}b_{2} = 0\\ 3b_{1} - b_{2} + b_{3} = 0\\3b_{2} = 0\end{cases}$$ここでb1 = k2(k2は任意定数)とおくとb3 = -3k2であるからλ2に対応する固有ベクトルx2は$$x_{2} = k_{2}\left[\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -3\end{array} \right]$$

(ⅲ)λ3 = 4を②に代入し、$$x_{3} = \left[\begin{array}{r} c_{1} \\ c_{2}\\ c_{3}\end{array} \right]$$とおくと$$\left[\begin{array}{rrr} -2 & 1 & 0 \\ 3 & -3 & 1 \\ 0 & 3 & -2\end{array} \right]\left[\begin{array}{r} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3}\end{array} \right] = \left[\begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0\end{array} \right]$$これより$$\begin{cases}-2c_{1} + c_{2} = 0\\ 3c_{1} - 3b_{2} + c_{3} = 0\\3c_{2} - 2c_{3} = 0\end{cases}$$ここでc1 = k3(k3は任意定数)とおくとc2 = -2k3、c3 = -3k3であるからλ3に対応する固有ベクトルx3は$$x_{3} = k_{3}\left[\begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ -3\end{array} \right]$$

固有ベクトルも求められました。

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