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工業力学 機械工学

工業力学 2章 解答解説

2.1

F1,F2の力を水平、鉛直方向に分けて水平、鉛直方向のつり合いを考えると

$$F1sin30° + F2sin60° = 500 , F1cos30° = F2cos60°$$

これを解くとF1 = 250[N] , F2 = 433[N]となります。

2.2

力のつり合いと点Aまわりのモーメントのつり合いを考えると

$$200 + 300 + 400 + 500 = R_A + R_B , 200*1 + 300*0.6 + R_{B}*2 = 400*0.4 + 500*1.2$$

これを解くとR_{A} = 1210[N] , R_{B} = 190[N]となります。

2.3

分かりませんでした、申し訳ございません。わかる方コメントで教えていただけると幸いです。

2.4

ロープABにはたらく張力をFab、ロープBCにはたらく張力をFbc、ロープCDにはたらく張力をFcdとします。

点Bにおける水平、鉛直方向のつり合いを考えると

$$F_{bc}cos30° = F_{ab}cos60° , F_{ab}sin60° + F_{bc}sin30° = 10*9.8$$

 

点Cにおける水平、鉛直方向のつり合いを考えると

$$F_{bc}sin60° = F_{cd}cos45° , -F_{bc}cos60° + F_{cd}sin45° = P*9.8$$

これらを解くと

$$F_{ab} = 85[N] , F_{bc} = 49[N] , F_{cd} = 60[N] , P = 1.8[kg]$$

となります。

2.5

針金の太さは一様であるからAB部分の重さをm[kg]とするとBC部分の重さは1.5m[kg]となります。

B点まわりのモーメントを考えると針金が回転していないからBC部分の重量で発生するとAB部分の重量で発生するモーメントと吊り下げ糸のモーメントの合計が0であるため

$$1.5mg\frac{15}{2}cosα + mg\frac{10}{2}sinα - 2.5mg10sinα = 0$$

これを解いてα = 29.4°となります。

2.6

A,Bの反力をそれぞれPa,Pbとします。水平、鉛直方向の力のつり合いより

$$-Pcos30=P_{a}cos60 , Psin30+P_{a}sin60+P_{b} = 200g$$

A点まわりのモーメントを考えると、鉄材が回転していないため鉄材の重さによるモーメントとRbによるモーメントの合計が0である。

よって鉄材の長さをLとすると$$200g\frac{L}{2}cosθ = P_{b}Lcosθ$$これを解くとPa = 849[N] , Pb = 980[N] , P = 490[N]となります。

2.7

円筒の中心をO、円筒と棒の接点をB、棒と地面の接点をAとします。

ABの長さlはl = 10/tan30° =17.3[cm]

棒にはたらく円筒からの反力をPbとするとA点まわりのモーメントのつり合いより$$P_{b}l =\frac{30}{2}*0.5*9.8cos60$$これを解くとPb = 2.1[N]

棒にはたらく床からの力をPa、水平との角度をθとすると次に棒全体の水平方向、垂直方向の力のつり合いは

$$P_{b}sin60° = P_{a}cos60° , P_{a}sin60° + P_{b}cos60° = 200*9.8$$

これを解くとPa = 4.3N , θ = 64.4°

2.8

点A,B,C,Dにはたらく力をそれぞれPa,Pb,Pc,Pdとします。

図における角度θは$$10cosθ + 15cosθ + 15 + 10 = 45$$より$$θ = cos^{-1}(\frac{20}{25})$$であるから丸鋼棒O1,O2における水平、鉛直方向の力のつり合いを考えると

$$P_{c}cosθ = P_{a} , P_{c}sinθ + 30*9.8 = P_{b}$$

$$P_{c}cosθ = P_{d} , 20*9.8 = P_{c}sinθ$$これらを解くとPa = 261[N] , Pb = 490[N] , Pc = 327[N] , Pd = 261[N]となります。

2.9

問題を図で示すと以下のようになります。

水平方向のつり合いと棒の重心まわりのモーメントのつり合いより$$T_{a}cosα = T_{b}cosβ…①$$

$$T_{a}\frac{l}{2}sin(α-θ) = T_{b}\frac{l}{2}sin(β+θ)…②$$

これを解くと$$θ = tan^{-1}\frac{1}{2}(tanα - tanβ)$$

 

追記:計算のための途中式についての説明を詳しく書いていなかったので追加します

まず②式の両辺のl/2を消去して$$T_{a}sin(α-θ) = T_{b}sin(β+θ)…②'$$

TaとTbを消去するために②'式を①式で割ると$$\frac{sin(α-θ)}{cosα} = \frac{sin(β+θ)}{cosβ}$$

cosα , cosβを両辺にかけて$$cosβsin(α-θ) = cosαsin(β+θ)$$

加法定理$$sin(α±β) = sinαcosβ±cosαsinβ$$よりsin(α-θ) , sin(β+θ)を変形すると

$$cosβ(sinαcosθ-cosαsinθ) = cosα(sinβcosθ+cosβsinθ)$$

cosθ , sinθでそれぞれまとめて

$$(sinαcosβ - cosαsinβ)cosθ = (cosαcosβ + cosαcosβ)sinθ = 2cosαcosβsinθ$$

θでまとめて

$$\frac{sinθ}{cosθ} = \frac{1}{2}\frac{sinαcosβ - cosαsinβ}{cosαcosβ} = \frac{1}{2}(\frac{sinα}{cosα}-\frac{sinβ}{cosβ})$$

sinθ/cosθ = tanθより$$tanθ = \frac{1}{2}(tanα - tanβ)$$よって$$θ = tan^{-1}\frac{1}{2}(tanα - tanβ)$$

となります

 

2.10

図のように力をおくと点E,Cの水平、鉛直方向の力のつり合いより$$T_{de}sinα = 500 , T_{ce} = T_{de}cosα$$$$T_{bc}sinα = T_{ce} , T_{ac} = Tbccosα$$これを解くとTac = 65.3[kN]となります。

2.11

図のように文字をおいて、O点まわりのモーメントのつり合いを考えると

$$(50-5)f = 400*9.8*\sqrt{50^{2}-45^{2}}$$

これを解くとf = 1.9[kN]となります。

2.12

点Aの反力をPa、点Oの反力をPo、Poの水平、垂直成分をそれぞれPoh,Povとして点Oまわりのモーメントのつり合いを考えると$$120P_{a} = 50 * 50 * 9.8$$これを解くとPa = 204[N]

水平、鉛直方向の力のつり合いより$$P_{oh} = P_{a} , P_{ov} = 50*9.8$$よって$$P_{o} = \sqrt{P_{ov}^2 + P_{oh}^2}$$角度θは

$$tanθ = \frac{P_{ov}}{P_{oh}} ⇔ θ = tan^{-1}\frac{P_{ov}}{P_{oh}} = 112.6°$$

となります。

2.13

下図のように求められます。

2.14

引張方向を正とします。

全体の力のつり合いと点Aのモーメントのつり合いより$$Ra + Re = 2 + 5 + 4 $$

$$2*5 + 5*10 + 4*15 = Re*20$$よりRa,Reが求まります。

部分ABにはたらく力をFabのようにおいて各点の水平、鉛直方向の力のつり合いより求めます。

点Aのつり合いより

$$R_{a} + F_{ab}sin30° = 0 , F_{ak} + F_{ab}cos30° = 0$$

点Bのつり合いより

$$F_{ak}cos30° = F_{bc}cos30° + F_{bk}cos30° , F_{ab}cos60° + F_{bk}cos60°+ 2 = F_{bc}cos60°$$

点Cのつり合いより

$$5 + F_{ck} + F_{bc}cos60° + F_{cd}cos60° = 0 , F_{bc} = F_{cd}$$

点Dのつり合いより

$$F_{de}cos30° = F_{cd}cos30° + F_{dk}cos30° , F_{de}cos60° + F_{dk}cos60° + 4 = F_{cd}cos60°$$

点Eのつり合いより

$$R_{e} + F_{de}sin30° = 0, F_{ek} + F_{de}cos30° = 0$$

点Kのつり合いより

$$F_{ak} + F_{bk}sin30° = F_{ek} + F_{dk}sin30° , F_{cd} + F_{dk}sin30° + F_{bk}sin30° = 0$$

これらを解くとRa = 5.0[kN] , Re = 6.0[kN] , Fab = -10.0[kN] , Fbc = -8.0[kN] , Fcd = -8.0[kN] , Fde = -12.0[kN] , Fbk = -2.0[kN] , Fck = 3.0[kN] , Fdk = -4.0[kN] , Fak = 8.7[kN] , Fke = 10.4[kN]となります。

2.15

引張方向を正とします。点J,Fの反力をRj,Rf、部材ABにはたらく力をFabのようにおくと

全体の力のつり合いと点Jを基準としたモーメントのつり合いより

$$4 + 5 + 8 = R_{j} +R_{f} , 5*2 + 8*4 + 4*2 = R_{f}*8$$

よりRf = 8.25[kN]

図の赤線のように切断して右側部分全体の力のつり合いと点Gを基準としたモーメントのつり合いより$$sin45°F_{ca} = 8.25 -4 , F_{cd} = 8.25$$これらを解くとFcd = -8.25[kN] , Fcg = -6.01[kN] , Fhg = 12.5[kN]となります。

 

間違い、質問などありましたらコメントお願いします。

 

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