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【院試解答】2020年度 東京都立大学 大学院 博士前期課程 機械システム工学域 数学(夏季募集)

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問題1

$$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } (\frac{x+2}{x-2})^x = \displaystyle \lim_{ x \to \infty } (\frac{1+\frac{2}{x}}{1-\frac{2}{x}})^x = \displaystyle \lim_{ x \to \infty } 1^x = 1$$

 

問題2

(1)$$x^2 + 1 = tとおくと2xdx = dtより$$

$$\int xlog(x^2 + 1)dx = \frac{1}{2}\int logt dt = \frac{1}{2}\int t' logt dt$$$$=\frac{1}{2}(tlogt - \int 1 dt) = \frac{1}{2}t(logt - 1) + C$$

よって

$$\int xlog(x^2 + 1)dx = \frac{1}{2}(x^2 + 1)\{log(x^2 + 1) - 1\} + C$$

 

(2)$$x^3 + 5x^2 + 4x = x(x+1)(x+4)$$より

$$\frac{1}{x^3 + 5x^2 + 4x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x+4}$$

とおいて、A , B , Cを求める

$$= \frac{A(x+1)(x+4) + Bx(x+4) + Cx(x+1)}{x(x+1)(x+4)} = \frac{(A + B + C)x^2 + (5A + 4B + C)x + 4A}{x(x+1)(x+4)}$$

よって

$$A + B + C = 0 , 5A + 4B + C = 0 , 4A = 1$$

を整理して$$A = \frac{1}{4} , B = -\frac{1}{3} , C = \frac{1}{12}$$与式は

$$\int \{\frac{1}{4x} - \frac{1}{3(x+1)} + \frac{1}{12(x+4)}\} = \frac{1}{12}(3log|x| - 4log|x+1| + \frac{1}{12}log|x+4|)$$

 

問題3

(1)

$$\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} , \sin{\frac{\pi}{2}} = 1 , \sin{\frac{3\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} , \cos{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} , \cos{\frac{2\pi}{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} , \cos{\pi} = -1$$

$$A = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1 \\  \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$$
(2)求めるn次正方行列Aに対して、固有値$$\lambda_i \ \ \ (i=1,2,3,\cdots,n)$$を持つ列ベクトル$$u_i$$とすると

$$(B - \lambda_{i}I)u_i = 0$$より$$Bu_i = \lambda_{i}u_i$$今回の場合はi = 3までなので$$P = (u_{1} , u_{2} , u_{3})$$とし、固有値を対角に並べた行列をDとすると$$D =  \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right]$$であるから$$BP = PD$$移行して$$B = PDP^{-1}\cdots①$$

$$\begin{align*}
B
&= \left[ \begin{array}{rrr} -\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \end{array} \right]\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{rrr} -\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \end{array} \right]\\
&= \left[ \begin{array}{rrr} \frac{\sqrt{3}}{3} & 0 & \frac{4\sqrt{6}}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} & \sqrt{2} & \frac{2\sqrt{6}}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} & -\sqrt{2} & \frac{2\sqrt{6}}{3} \end{array} \right]\left[ \begin{array}{rrr} -\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \end{array} \right]\\
&=\left[ \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right]\end{align*}$$

 

(3)①より

$$B^5 = PDP^{-1}PDP^{-1}P\cdots P^{-1}= PD^{5}P^{-1}$$
$$\begin{align*}
B^5
&= \left[ \begin{array}{rrr} -\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \end{array} \right]\left[ \begin{array}{rrr} 1^5 & 0 & 0 \\ 0 & 2^5 & 0 \\ 0 & 0 & 4^5 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{rrr} -\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \end{array} \right]\\
&= \left[ \begin{array}{rrr} -\frac{\sqrt{3}}{3} & 0 & \frac{1024\sqrt{6}}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} & 16\sqrt{2} & \frac{512\sqrt{6}}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} & -16\sqrt{2} & \frac{512\sqrt{6}}{3} \end{array} \right]\left[ \begin{array}{rrr} -\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \end{array} \right]\\
&= \left[ \begin{array}{rrr} 683 & 341 & 341 \\ 341 & 187 & 155 \\ 341 & 155 & 187 \end{array} \right]\end{align*}$$

検算用に、こちらのサイトを使用しました
皆さまも使ってみてください

 

問題4

(1)$$x = X\sin{\omega t}$$とすると

$$\frac{dx}{dt} = \omega X\cos{\omega t} , \frac{d^2 x}{dt^2} = -{\omega}^2 X\sin{\omega t}$$

であるから与式に代入して

$$-{\omega}^2 X\sin{\omega t} + {\alpha}^2 X\sin{\omega t} = \sin{\omega t}$$

$$({\alpha}^2 - {\omega}^2)X = 1$$$$X = \frac{1}{{\alpha}^2-{\omega}^2}$$

そして$$X = \frac{x_{p}(t)}{\sin{\omega t}}$$より

$$x_{p}(t) = \frac{\sin{\omega t}}{{\alpha}^2-{\omega}^2}$$

 

(2)$$\frac{d^2 x}{dt^2} + {\alpha}^2x = 0$$の特性方程式は

$${\lambda}^2 + {\alpha}^2 = 0$$$$\lambda = \pm i\alpha$$より

$$x = C_{1}\cos{\alpha t} + C_{2}\sin{\alpha t}$$

 

(3)

$$x(t) = x_{p}(t) + x_{c}(t) = \frac{\sin{\omega t}}{{\alpha}^2 - {\omega}^2} + C_{1}\cos{\alpha t} + C_{2}\sin{\alpha t}\cdots②$$

tで微分して

$$\frac{dx(t)}{dt} = \frac{\omega \cos{\omega t}}{{\alpha}^2 - {\omega}^2} - \alpha C_{1}\sin{\alpha t} + \alpha C_{2}\cos{\alpha t}\cdots③$$

② , ③に境界条件x(0) = 0 , dx(0)/dt = 0をあてはめて整理すると

$$C_{1} = 0 , C_{2} = \frac{\omega}{\alpha ({\omega}^2 - {\alpha}^2)}\cdots④$$

よって④を②に代入して$$x(t) = \frac{\sin{\omega t}}{{\alpha}^2 - {\omega}^2} + \frac{\omega \sin{\alpha t}}{\alpha ({\omega}^2 - {\alpha}^2)}$$

 

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