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問題1
問題2
(1)$$x^2 + 1 = tとおくと2xdx = dtより$$
よって
(2)$$x^3 + 5x^2 + 4x = x(x+1)(x+4)$$より
とおいて、A , B , Cを求める
よって
を整理して$$A = \frac{1}{4} , B = -\frac{1}{3} , C = \frac{1}{12}$$与式は
問題3
(1)
$$A = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1 \\ \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$$
(2)求めるn次正方行列Aに対して、固有値$$\lambda_i \ \ \ (i=1,2,3,\cdots,n)$$を持つ列ベクトル$$u_i$$とすると
$$(B - \lambda_{i}I)u_i = 0$$より$$Bu_i = \lambda_{i}u_i$$今回の場合はi = 3までなので$$P = (u_{1} , u_{2} , u_{3})$$とし、固有値を対角に並べた行列をDとすると$$D = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right]$$であるから$$BP = PD$$移行して$$B = PDP^{-1}\cdots①$$
$$\begin{align*}
B
&= \left[ \begin{array}{rrr} -\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \end{array} \right]\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{rrr} -\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \end{array} \right]\\
&= \left[ \begin{array}{rrr} \frac{\sqrt{3}}{3} & 0 & \frac{4\sqrt{6}}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} & \sqrt{2} & \frac{2\sqrt{6}}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} & -\sqrt{2} & \frac{2\sqrt{6}}{3} \end{array} \right]\left[ \begin{array}{rrr} -\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \end{array} \right]\\
&=\left[ \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right]\end{align*}$$
(3)①より
B^5
&= \left[ \begin{array}{rrr} -\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \end{array} \right]\left[ \begin{array}{rrr} 1^5 & 0 & 0 \\ 0 & 2^5 & 0 \\ 0 & 0 & 4^5 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{rrr} -\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \end{array} \right]\\
&= \left[ \begin{array}{rrr} -\frac{\sqrt{3}}{3} & 0 & \frac{1024\sqrt{6}}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} & 16\sqrt{2} & \frac{512\sqrt{6}}{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3} & -16\sqrt{2} & \frac{512\sqrt{6}}{3} \end{array} \right]\left[ \begin{array}{rrr} -\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} \end{array} \right]\\
&= \left[ \begin{array}{rrr} 683 & 341 & 341 \\ 341 & 187 & 155 \\ 341 & 155 & 187 \end{array} \right]\end{align*}$$
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問題4
(1)$$x = X\sin{\omega t}$$とすると
であるから与式に代入して
$$-{\omega}^2 X\sin{\omega t} + {\alpha}^2 X\sin{\omega t} = \sin{\omega t}$$
$$({\alpha}^2 - {\omega}^2)X = 1$$$$X = \frac{1}{{\alpha}^2-{\omega}^2}$$
そして$$X = \frac{x_{p}(t)}{\sin{\omega t}}$$より
$$x_{p}(t) = \frac{\sin{\omega t}}{{\alpha}^2-{\omega}^2}$$
(2)$$\frac{d^2 x}{dt^2} + {\alpha}^2x = 0$$の特性方程式は
$${\lambda}^2 + {\alpha}^2 = 0$$$$\lambda = \pm i\alpha$$より
$$x = C_{1}\cos{\alpha t} + C_{2}\sin{\alpha t}$$
(3)
tで微分して
② , ③に境界条件x(0) = 0 , dx(0)/dt = 0をあてはめて整理すると
$$C_{1} = 0 , C_{2} = \frac{\omega}{\alpha ({\omega}^2 - {\alpha}^2)}\cdots④$$
よって④を②に代入して$$x(t) = \frac{\sin{\omega t}}{{\alpha}^2 - {\omega}^2} + \frac{\omega \sin{\alpha t}}{\alpha ({\omega}^2 - {\alpha}^2)}$$