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【院試解答】2019年度 首都大学東京 大学院 博士前期課程 機械システム工学域 数学(夏季募集)

このページでは解答のみですので、問題は各々で手に入れてください
(過去問の入手方法等に関してはこちらの記事がおすすめです)

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問題1

(1)$$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{a^n}{b^n + 1} = \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{(\frac{a}{b})^n }{1 + \frac{1}{b^n}} = 0$$

 

(2)$$\begin{align*}
y'
&= (\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}})' \\
&= \frac{\cos{x}(1+\cos{x}) + \sin{x}\sin{x}}{(1+\cos{x})^2}\\
&= \frac{1+\cos{x}}{(1+\cos{x})^2}\\
&= \frac{1}{1+\cos{x}}
\end{align*}$$

 

問題2

(1)

$$\begin{align*}
\int x^{2}e^{3x} dx
&= \int x^{2}(\frac{e^{3x}}{3})'dx\\
&= \frac{x^{2}e^{3x}}{3} - \frac{2}{9}\int x(e^{3x})' dx \\
&= \frac{x^{2}e^{3x}}{3} - \frac{2}{9}xe^{3x} + \frac{2}{9}\int e^{3x} dx\\
&= \frac{x^{2}e^{3x}}{3} - \frac{2}{9}xe^{3x} + \frac{2}{27}e^{3x}
\end{align*}$$

 

(2)

グラフにするとこのような感じになります

(引用:https://www.geogebra.org/graphing?lang=ja)

$$\sin{x} = \sin ^2{x}$$を整理すると$$\sin{x}(\sin{x} - 1) = 0$$$$x = 0 , \frac{\pi}{2}$$

求める面積は$$\begin{align*}
S
&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{x}(1 - \sin{x})dx\\
&= \int_0^{\frac{\pi}{2}} -\frac{1+\cos{2x}}{2} + \sin{x}dx\\
&= \left[ \frac{x}{2} + \frac{\sin{2x}}{4} - \cos{x} \right]_0^\frac{\pi}{2}\\
&= -\frac{\pi}{4} + 1
\end{align*}
$$

 

問題3

(1)

(a)

$$|SI-A| = (s-\lambda_1)(s-\lambda_2)(s-\lambda_3)(s-\lambda_4)$$

より

$$|-A| = (-\lambda_1)(-\lambda_2)(-\lambda_3)(-\lambda_4)$$

また$$|-A| = (-1)^n|A|$$より$$|A| = \lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3}\lambda_{4}$$

(b)

行列Aの変換方程式をPとすると

$$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} \lambda_{1} &0&0&0\\0&\lambda_{2}&0&0\\0&0&\lambda{3}&0\\0&0&0&\lambda_{4} \end{bmatrix}$$

$$tr[A] = tr[AI] = tr[APP^{-1}] = tr[P^{-1}AP] = \lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}+\lambda_{4}$$

 

(2)

$$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2\\ 4 & 1 & -1 \\ -3 & 0 & 5\end{vmatrix} = 5+6 = 11 ≠ 0$$

より行列Bは正則であり、掃き出し法により

$$\begin{align*}
[ B | E ]
&= \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\\
&\rightarrow \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -9 & -4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{11} & 0 & \frac{1}{11} \end{array} \right]\\
&\rightarrow \left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & \frac{5}{11} & 0 & -\frac{2}{11} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{17}{11} & 1 & \frac{9}{11} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{11} & 0 & \frac{1}{11} \end{array} \right]
\end{align*}$$

よって$$B^{-1} = \frac{1}{11}\begin{bmatrix} 5 & 0 & -2\\ -17 & 1 & 9 \\ 3 & 0 & 1\end{bmatrix}$$

 

問題4

定数係数2階線形微分方程式の問題です

解き方を知らない方はこちらの記事を閲覧をおすすめします

今回の解き方も記事通りに進めています
ぜひ参考にしてください

 

(1)与式の特性方程式は$${\lambda}^2 + 1 = 0$$$${\lambda} = \pm i$$

よって基本解u1 , u2はそれぞれ$$u_{1} = \cos{x}, u_{2} = \sin{x}$$

よって一般解はC1 , C2を任意定数として$$u_{c} = C_{1}\cos{x} + C_{2}\sin{x}$$

 

(2)基本解u1、u2のロンスキアン(ロンスキー行列式)W(u1,u2)は
$$\begin{align*}
W(u_1,u_2)
&=\begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ u_{1}' & u_{2}'\\\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix} \cos{x} & \sin{x} \\ -\sin{x} & \cos{x}\\\end{vmatrix}\\
&=\cos^2 x + \sin^2 x = 1
\end{align*}$$

ここで基本解u1,u2がわかっているとき特殊解upは、cosx = R(x)とすると

$$\begin{align*}
u_{p}
&= -u_{1}\int_{}^{}{\frac{u_2 R(x)}{W(u_1,u_2)}}dx + u_{2}\int_{}^{}{\frac{u_1 R(x)}{W(u_1,u_2)}}dx \\
&= -\cos{x}\int_{}^{}{\sin{x}\cos{x}}dx + \sin{x}\int_{}^{}{\cos{x}\cos{x}}dx\\
&= -\cos{x}(-\frac{1}{2}\cos^2 x) + \sin{x}\frac{x + \cos{x} \sin{x}}{2}\\
&= \frac{1}{2}(\cos^3 x + \sin^2 x \cos{x} +x\sin{x})\\
&= \frac{1}{2}(\cos{x} + x\sin{x})
\end{align*}$$

よって一般解は

$$u = C_{1}' \cos{x} + C_{2}\sin{x} + \frac{1}{2}x\sin{x}\cdots(C_{1}' , C_{2}は任意定数)$$

 

(3)

(1) , (2)の結果より$$u = u_{c} + u_{p}$$を変形して

$$\begin{align*}
u_{p}
&= u - u_{c}\\
&= C_{1}' \cos{x} + C_{2}\sin{x} + \frac{1}{2}x\sin{x} - C_{1}\cos{x} + C_{2}\sin{x}\\
&= \frac{1}{2}(\cos{x} + x\sin{x})
\end{align*}$$

【別解】

(2)より$$\frac{1}{2}(\cos{x} + x\sin{x})$$

 

 

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