前澤じゃんけんはどのコースがお得なのか？期待値について考えてみる

結論：10万円のコースが一番お得

こんにちは、庶民です

庶民なので、お金贈りおじさんこと、前澤友作さんのじゃんけん企画には参加しています

記憶している限り、じゃんけん企画は全部で3回あって

1回目(あいこでも終了)

・7連勝で1万円
・9連勝で10万円
・12連勝で100万円

2回目(あいこならもう一度)

・11連勝で1万円
・14連勝で10万円
・19連勝で100万円

3回目(あいこならもう一度)

・14連勝で10万円
・19連勝で100万円
・22連勝で1000万円

このような賞金(?)になっています

どのコースがお得なのか気になったので、ちょっと計算してみました

計算間違い等ありましたらご指摘お願いしますm(_ _"m)

じゃんけんで勝つ確率

2人で1回じゃんけんをすることを考えます

自分の出す手が3通り、相手の出す手が3通りなので、手の組み合わせは9通りになります

このうち、自分が勝つ組み合わせは3通り、あいこになる組み合わせも3通り、相手が勝つ確率も3通りになりますね

ということは、1発で自分が勝つ確率は

$$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

となります

今度は、2人で決着がつくまで(あいこならもう一回)じゃんけんをすることを考えます

自分が勝つパターンとしては

・勝ち
・あいこ→勝ち
・あいこ→あいこ→勝ち
・あいこ→あいこ→あいこ→勝ち
・あいこ→…

と無限に存在します

勝つ確率、あいこになる確率、負ける確率は、全て$\frac{1}{3}$であるから、自分が勝つ確率は

$$\begin{align*}
\sum^{\infty}_{n=1}\left(\frac{1}{3}\right)^n &=\lim_{n=1\rightarrow\infty}\frac{1}{3}\cdot\frac{1-\frac{1}{3}^n}{1-\frac{1}{3}}\\
&= \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\frac{2}{3}}\\
&= \frac{1}{2}
\end{align*}$$

のようになります

期待値

期待値とは、ある試行を行ったとき，得られる値の平均値のことを言います

得られる値が$x_{1},x_{2}\cdots ,x_{n}$、それぞれの確率が$p_{1},p_{2}\cdots ,p_{n}$であるとき、期待値は

$$x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots+x_{n}p_{n}$$

となります

お得なコースを探す

では、それぞれのコースについて考えてみます

1回目のじゃんけん企画

1回目のじゃんけん企画は、あいこでも終了するシステムですので、1発で勝ち続けなければなりません

1発で自分が勝つ確率$\frac{1}{3}$を使って考えます

賞金(?)は

・7連勝で1万円
・9連勝で10万円
・12連勝で100万円

のようになっていました

7連勝で1万円コース

7連勝できる確率は

$$\frac{1}{3}^{7} = \frac{1}{2187}$$

であり、賞金(?)は1万円ですので、期待値は

$$10000\times \frac{1}{2187} = 4.5724\cdots \approx 4.8円$$

9連勝で10万円コース

9連勝できる確率は

$$\frac{1}{3}^{9} = \frac{1}{19683}$$

であり、賞金(?)は10万円ですので、期待値は

$$100000\times \frac{1}{19683} = 5.0805\cdots \approx 5.1円$$

12連勝で100万円コース

12連勝できる確率は

$$\frac{1}{3}^{12} = \frac{1}{531441}$$

であり、賞金(?)は100万円ですので、期待値は

$$1000000\times \frac{1}{531441} = 1.88167\cdots \approx 1.9円$$

ですので、9連勝で10万円コースが一番お得ということになりました

2回目のじゃんけん企画

2回目以降のじゃんけん企画は、あいこならもう一度できるようになりました

なので、2人で決着がつくまでじゃんけんを行い、自分が勝つ確率$\frac{1}{2}$を使って考えます

賞金は同じですが、必要な勝利数も多くなりました

・11連勝で1万円
・14連勝で10万円
・19連勝で100万円

11連勝で1万円コース

11連勝できる確率は

$$\frac{1}{2}^{12} = \frac{1}{2048}$$

であり、賞金(?)は1万円ですので、期待値は

$$10000\times \frac{1}{2,048} = 4.8828\cdots \approx 4.9円$$

14連勝で10万円コース

14連勝できる確率は

$$\frac{1}{2}^{14} = \frac{1}{16384}$$

であり、賞金(?)は10万円ですので、期待値は

$$100000\times \frac{1}{16384} = 6.1035\cdots \approx 6.1円$$

19連勝で100万円コース

19連勝できる確率は

$$\frac{1}{2}^{19} = \frac{1}{524288}$$

であり、賞金(?)は100万円ですので、期待値は

$$1000000\times \frac{1}{524288} = 1.9073\cdots \approx 1.9円$$

なので、14連勝で10万円コースが一番お得ということになりました

1回目よりどのコースも若干期待値が高くなっていますね

3回目のじゃんけん企画

3回目では1000万コースができていました

あいこならもう一度できるので、2人で決着がつくまでじゃんけんを行い、自分が勝つ確率$\frac{1}{2}$を使って考えます

・14連勝で10万円
・19連勝で100万円
・22連勝で1000万円

14連勝で10万円

2回目と同じで、期待値は

$$100000\times \frac{1}{16384} = 6.1035\cdots \approx 6.1円$$

19連勝で100万円

2回目と同じで、期待値は

$$1000000\times \frac{1}{524288} = 1.9073\cdots \approx 1.9円$$

22連勝で1000万円

22連勝できる確率は

$$\frac{1}{2}^{22} = \frac{1}{4194304}$$

であり、賞金(?)は1000万円ですので、期待値は

$$1000000\times \frac{1}{4194304} = 2.3841\cdots \approx 2.4円$$