工業力学 機械工学

慣性モーメントの導出:長方形板

下の図のような質量m、それぞれの辺の長さa , bの長方形板のx , y , zそれぞれの軸まわりの慣性モーメントを求めます

 

 

密度をρとするとx離れた微小部分dxの、y軸まわりの慣性モーメントは

$$I_{y} = \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} x^2 (\rho adx)$$

また$$\rho = \frac{m}{ab}$$より$$\rho adx = \frac{m}{b}dx$$であるから

$$\begin{align*}
I_{y}
&= \int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} x^2 \rho adx \\
&= \frac{m}{b}\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} x^2 dx \\
&= \frac{m}{b}\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \\
&= \frac{1}{12}mb^2
\end{align*}$$

同様にx軸まわりについても考えると

$$I_{x} = \frac{1}{12}ma^2$$
直交軸の定理より、この長方形板に垂直な軸(z軸)まわりの慣性モーメントは

$$I_{z} = I_{x} + I_{y} = \frac{1}{12}m(a^2 + b^2)$$

回転半径は

$$k_{x} = \sqrt{\frac{I_{x}}{m}} =\frac{\sqrt{a^2}}{2\sqrt{3}}~~k_{y} = \sqrt{\frac{I_{y}}{m}} =\frac{\sqrt{b^2}}{2\sqrt{3}}~~k_{z} = \sqrt{\frac{I_{z}}{m}} =\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2\sqrt{3}}$$

よって、以下の表のようになります

慣性モーメント回転半径
$$I_{x} = \frac{1}{12}ma^2$$$$k_{x} =\frac{\sqrt{a^2}}{2\sqrt{3}}$$
$$I_{y} = \frac{1}{12}mb^2$$$$k_{y}=\frac{\sqrt{b^2}}{2\sqrt{3}}$$
$$I_{z} = \frac{1}{12}m(a^2 + b^2)$$$$k_{z}=\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2\sqrt{3}}$$

 

おもな物体の慣性モーメント一覧

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