工業力学 機械工学

代表的な物体の慣性モーメント・回転半径の公式一覧と導出方法

代表的な物体の慣性モーメントと回転半径をまとめました

形状慣性モーメント回転半径

細棒

$$I_{a} = \frac{m}{3}l^2$$
$$I_{b} = \frac{m}{12}l^2$$
$$k_{a} = \frac{l}{\sqrt{3}}$$
$$k_{b} = \frac{l}{2\sqrt{3}}$$
長方形

$$I_{a} = \frac{mh^2}{3}$$
$$I_{b} = \frac{mh^2}{12}$$
$$I_{c} = \frac{ml^2}{12}$$
$$k_{a} = \frac{h}{\sqrt{3}}$$
$$k_{b} = \frac{h}{2\sqrt{3}}$$
$$k_{c} = \frac{l}{2\sqrt{3}}$$

直方体

$$I = \frac{1}{12}m(a^2 + b^2)$$$$k = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{12}}$$

円柱

$$I_{a} = m(\frac{l^2}{3}+\frac{R^2}{4})$$
$$I_{b} = m(\frac{l^2}{12}+\frac{R^2}{4})$$
$$I_{c} = \frac{1}{2}mR^2$$
$$k_{a} = \sqrt{\frac{l^2}{3} + \frac{R^2}{4}}$$
$$k_{b} = \sqrt{\frac{l^2}{12}+\frac{R^2}{4}}$$
$$k_{c} = \frac{R}{\sqrt{2}}$$

中空円柱

$$I_{b} = m(\frac{l^2}{12}+\frac{R^2 + r^2}{4})$$
$$I_{c} = \frac{1}{2}m(R^2 + r^2)$$
$$\sqrt{\frac{l^2}{12}+\frac{R^2 + r^2}{4}}$$
$$\sqrt{\frac{R^2 + r^2}{2}}$$

薄い円板

$$I_{x} = \frac{1}{4}mR^2$$
$$I_{y} = \frac{1}{4}mR^2$$
$$I_{z} = \frac{1}{2}mR^2$$
$$k_{x} = \frac{R}{2}$$
$$k_{y} = \frac{R}{2}$$
$$k_{z} = \frac{R}{\sqrt{2}}$$

薄い中空円柱

$$I = \frac{1}{4}m(R^2 + r^2)$$$$k = \frac{\sqrt{R^2 + r^2}}{2}$$

$$I = \frac{2}{5}mR^2$$$$k = \sqrt{\frac{2}{5}}R$$

三角形板

$$I_{a} = \frac{1}{6}mh^2$$
$$I_{b} = \frac{1}{18}mh^2$$
$$I_{c} = \frac{1}{18}m(l^2 - nl + n^2)$$
$$I_{z} = \frac{m}{18}(l^2 - ln + n^2 + h^2)$$(z軸は紙面垂直方向)
$$k_{a} = \frac{h}{\sqrt{6}}$$
$$k_{b} = \frac{h}{3\sqrt{2}}$$
$$k_{c} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{l^2 - nl + n^2}{2}}$$
$$k_{z} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{l^2 - ln + n^2 + h^2}{2}}$$

円錐

$$I_{x} = \frac{3m}{80}(4R^2 + h^2)$$
$$I_{y}= \frac{3}{20}mR^2 + \frac{1}{10}mh^2$$
$$I_{z} = \frac{3}{10}mR^2$$
$$k_{x} = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{3(4R^2 + h^2)}{5}}$$
$$k_{y} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3R^2 + 2h^2}{5}}$$
$$k_{z} = \sqrt{\frac{3}{10}}R$$

 

【導出方法】

それぞれの導出方法を解説しています

計算ミス等ありましたらお知らせください

一様な細棒の慣性モーメントの導出

長方形板の慣性モーメントの導出

直方体の慣性モーメントの導出

球の慣性モーメントの導出

円板と円柱の慣性モーメントの導出

三角形板の慣性モーメントの導出

円錐の慣性モーメントの導出

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