工業力学 機械工学

慣性モーメントの導出:一様な細棒

質量m、長さlの一様な細棒の慣性モーメントを導出する

下図のように、微少な長さをdx、dxまでの距離をxとして考えると

 

 

微少部分の質量が$$dm = \frac{m}{l}dx$$であるため

原点からx離れた微小部分dxの、原点まわりの慣性モーメントは

$$dI = x^2 dm =\frac{m}{l}x^{2}dx$$

となる

ここで下図の軸a、軸bそれぞれの軸まわりの慣性モーメントを考える

 

それぞれの積分範囲に注意して計算する

軸aが原点であれば、積分範囲は0~lとなるため

$$\begin{align*}
I_{a}
&= \int_0^l \frac{m}{l} x^2 dx\\
&= \frac{m}{l}\left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^l\\
&= \frac{ml^2}{3}
\end{align*}$$

軸bが原点であれば、積分範囲は-l/2~l/2になるため

$$\begin{align*}
I_{b}
&= \int_{-\frac{l}{2}}^\frac{l}{2} \frac{m}{l} x^2 dx\\
&= \frac{m}{l}\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-\frac{l}{2}}^\frac{l}{2}\\
&= \frac{ml^2}{12}
\end{align*}$$

また、それぞれの回転半径は

$$k_{a} = \sqrt{\frac{I_{a}}{m}} = \frac{l}{\sqrt{3}} ~~~~~~~~~ k_{b} = \sqrt{\frac{I_{b}}{m}} = \frac{l}{2\sqrt{3}}$$

よって、以下の表のようになります

慣性モーメント回転半径
$$I_{a} = \frac{ml^2}{3}$$$$k_{a} = \frac{l}{\sqrt{3}}$$
$$I_{b} = \frac{ml^2}{12}$$$$k_{b} = \frac{l}{2\sqrt{3}}$$

 

おもな物体の慣性モーメント一覧

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