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断面二次モーメントの導出:I型(H型)

この導出方法では、長方形の断面二次モーメントを使います

長方形の断面二次モーメントの導出についてはこちらの記事をご覧ください

 

以下のようなI型(H型)の断面二次モーメントについて考えます

 

 

まずは、y軸まわりの慣性モーメントを求めます

面積bdの大きい長方形と、面積h(b -t)/2の小さい長方形に分けて考えます

長方形の断面二次モーメントの公式より、面積bdの大きい長方形の断面二次モーメントIbと面積h(b -t)/2の小さい長方形の断面二次モーメントIsは、それぞれ

$$I_{b} = \frac{bd^3}{12}$$

$$I_{s} = \frac{(b-t)h^3}{24}$$

小さい長方形は2つあるため、全体の断面二次モーメントは

$$I_{y} = I_{b} - 2I_{s} = \frac{bd^3 - h^3 (b - t)}{12}$$

となります

 

次に、z軸まわりの慣性モーメントを求めます

こちらも面積bdの大きい長方形と、面積h(b -t)/2の小さい長方形に分けて考えます

大きい長方形と小さい長方形の断面二次モーメントIbはさきほどと同様に

$$I_{b} = \frac{db^3}{12}$$

$$I_{s} = \frac{h(b-t)^3}{96}$$

平行軸の定理より、z軸まわりの小さい長方形の長方形の断面二次モーメントIzsは

$$\begin{align*}
I_{{z}_{s}}
&= I_{s} + A\{ \frac{(b+t)}{4} \}^2 \\
&= \frac{h(b-t)^3}{96} + \frac{h(b-t)}{2} \cdot \frac{(b+t)^2}{16}\\
&= \frac{h(b^3 - 3b^2 t + 3bt^2 - t^3)}{96} + \frac{h(b^3 + b^2 t - bt^2 - t^3)}{32}\\
&= \frac{h(4b^3 - 4t^3)}{96}\\
&= \frac{h(b^3 - t^3)}{24}
\end{align*}$$

小さい長方形は2つあるため、全体の断面二次モーメントは

$$\begin{align*}
I_{y}
&= I_{b} - 2I_{{z}_{s}}\\
&= \frac{db^3}{12} - \frac{h(b^3 - t^3)}{12}\\
&= \frac{2sb^3 + hb^3}{12} - \frac{h(b^3 - t^3)}{12}\\
&= \frac{2sb^3 + ht^3}{12}
\end{align*}$$

となります

 

断面の端までの長さをaとすると、断面係数はZ = I / aで求められるので

$$Z_{y} = \frac{\frac{bd^3 - h^3 (b - t)}{12}}{\frac{d}{2}} = \frac{bd^3 - h^3 (b - t)}{6d}~,~ Z_{z} = \frac{\frac{2sb^3 + ht^3}{12}}{\frac{b}{2}} = \frac{2sb^3 + ht^3}{6b}$$

のように求められます

 

表で示すと

形状断面二次モーメント断面係数
I型(H型)

$$I_{z} = \frac{2sb^3 + ht^3}{12}$$$$Z_{z} = \frac{2sb^3 + ht^3}{6b}$$
$$I_{y} = \frac{bh^3 - h^3 (b-t)}{12}$$$$Z_{y} = \frac{bh^3 - h^3 (b-t)}{6d}$$

 

 

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