工業力学 機械工学

慣性モーメントの導出:円板と円柱

円柱、円板のそれぞれの軸まわりの慣性モーメントを求めます

円柱や円板の法線軸方向以外の慣性モーメントの求め方は、導出方法が載っているページがあまりなかったので、私が導出方法を解説していきます

 

円板の慣性モーメント

以下のような円板の慣性モーメントを求めます

質量はm、密度はρとし、tは非常に小さいものとします

 

 

まずは円板に垂直な軸まわりの慣性モーメントから求めます、円板に垂直な方向から見た図を考えて

 

 

上図の微少な幅drの質量dmは

$$dm = \rho 2\pi r dr = \frac{m}{\pi R^2}2\pi r dr = \frac{2mr}{R^2}dr$$

積分範囲は0~Rである
よって慣性モーメントは

$$\begin{align*}
I_{z}
&= \int_0^R r^2 \cdot \frac{2mr}{R^2} dr\\
&= \int_0^R \frac{2mr^3}{R^2} dr\\
&= \frac{2m}{R^2} \int_0^R r^3 dr\\
&= \frac{2m}{R^2}\left[  \frac{r^4}{4}\right]_0^R\\
&= \frac{mR^2}{2}
\end{align*}$$

直交軸の定理と対称性から$$I_{z} = I_{x} + I_{y}~~~I_{x} = I_{y}$$

よって$$I_{x} = I_{y} = \frac{1}{2}I_{z} = \frac{1}{4}mR^2\cdots ①$$

 

円柱の慣性モーメント

以下のような円柱のそれぞれの軸の慣性モーメントを求めます

質量はm、密度はρとして考えます

 

 

c軸まわりの慣性モーメントは円板と同じように求められます

$$I_{c} = \frac{mR^2}{2}$$

 

以下の図のように厚みdcのスライスした円板の質量dmは

 

 

$$dm = \rho \pi R^2 dc = \frac{m}{\pi R^2 l}\pi R^2 dc = \frac{m}{l}dc$$

①より$$dI = \frac{R^2}{4}\frac{m}{l}dc = \frac{mR^2}{4l}dc$$

平行軸の定理より、a軸まわりの慣性モーメントは

$$dI_{a} = (\frac{mR^2}{4l} + \frac{m}{l}y^2)dc$$

$$\begin{align*}
I_{a}
&= \int_0^l (\frac{mR^2}{4l} + \frac{m}{l}c^2)dc\\
&= \frac{mR^2}{4} + \frac{ml^2}{3}
\end{align*}$$

b軸まわりの慣性モーメントは、平行軸の定理より

$$I_{b} = I_{a} - (\frac{l}{2})^2 m = \frac{mR^2}{4} + \frac{ml^2}{12}$$

 

まとめ

回転半径を$$k = \sqrt{\frac{I}{m}}$$から求めると

物体慣性モーメント回転半径
円板

$$I_{x} = \frac{1}{4}mR^2$$$$k_{x} = \frac{R}{2}$$
$$I_{y} = \frac{1}{4}mR^2$$$$k_{y} = \frac{R}{2}$$
$$I_{z} = \frac{1}{2}mR^2$$$$k_{z} = \frac{R}{\sqrt{2}}$$
円柱

$$I_{a} = \frac{mR^2}{4} + \frac{ml^2}{3}$$$$k_{a} = \sqrt{\frac{R^2}{4} + \frac{l^2}{3}}$$
$$I_{b} = \frac{mR^2}{4} + \frac{ml^2}{12}$$$$k_{b} = \sqrt{\frac{R^2}{4} + \frac{l^2}{12}}$$
$$I_{c} = \frac{mR^2}{2}$$$$k_{c} = \frac{R}{\sqrt{2}}$$

 

注意

円板の厚さtを無視するかどうかは、問題文の条件によって異なります

厚さを微少として無視しない場合は、円柱と同じ方法で慣性モーメントを求められます

 

おもな物体の慣性モーメント一覧

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