制御工学 機械工学

【制御工学】単位ステップ入力とは?応答の求め方は?例題付きで解説

動的システムに入力を加えたとき、出力は時間により変化します

この時間変化の様子を時間応答と言います

システムによって入力に対する応答は異なりますので、扱いたいシステムが入力に対してどのように応答するのかを知ること、つまりシステムの特性を知ることが必要になってきます

入力から応答を求めるときには、実際に現実のシステムに入力信号を加えて応答信号を観察する方法と、計算によって求める方法の2つの方法がありますが、制御工学の座学では、後者の計算によって求める方法について考えます

システムの応答を知るための信号として「インパルス信号」、「ステップ信号」、「ランプ信号」というものがあります

この記事ではステップ信号、主に単位ステップ信号について解説をしていきたいと思います

 

単位ステップ入力、単位ステップ応答

単位ステップ入力とは以下のような単位ステップ関数の入力、高さ1の階段(ステップ)のような入力のことを指します

 

 

単位ステップ関数を\(u_s (t)\)として、数式で表すと

$$u_s(t) = \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}1 \space(t \geq 0)\\ 0\space(t\lt0) \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

のようになります

この単位ステップ入力に対する応答を、単位ステップ応答と言います(インディシャル応答とも言います)

 

単位ステップ関数のラプラス変換

ラプラス変換の定義式より、単位ステップ関数のラプラス変換を求めます

単位ステップ関数を\(u_s (t)\)とすると

$$\begin{align*}
U(s)
&= \mathcal{L}[u_s (t)] \\
&=  \int_{0}^{\infty} u_s (t)e^{-st}dt \\
&=  \int_{0}^{\infty} 1*e^{-st}dt \\
&=\left[ \frac{e^{-st}}{-s} \right]_0^\infty \\
&= -\frac{1}{s}\left[ e^{-st}\right]_0^\infty \\
&= -\frac{1}{s}(0-1) \\
&= \frac{1}{s}
\end{align*}$$

となります

 

例題

では例題を解いてみましょう

\(y(t)\)を出力、\(u(t)\)を入力とします

(1)次の伝達関数\(G(s)\)に関する単位ステップ応答を求めなさい

$$G(s) = \frac{1}{3s+1}$$

 

(2)システムのモデルが

$$y'(t) = 2y(t) + 4u(t)\space , y(0) = 0$$

となるとき、伝達関数\(G(s)\)に関する単位ステップ応答を求めなさい

 

【解答】

求めるのは単位ステップ応答なので、入力は単位ステップ入力になります

単位ステップ入力\(u(t)\)のラプラス変換\(U(s)\)は

$$U(s) = \frac{1}{s}$$

となることを使って解いていきます

 

(1)\(伝達関数G(s) = \frac{出力Y(s)}{入力U(s)}\)であるから、単位ステップ応答\(y(t)\)は逆ラプラス変換より

$$\begin{align*}
y(t)
&= \mathcal{L^{-1}}[U(s)G(s)]\\
&= \mathcal{L^{-1}}[\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{3s+1}]
\end{align*}$$

となります

 

逆ラプラス変換をするために、部分分数分解をします

$$\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{3s+1} = \frac{a}{s}+\frac{b}{3s+1}$$

整理すると \(a = 1 , b = -3\)が求められるから、単位ステップ応答は

$$\begin{align*}
y(t)
&= \mathcal{L^{-1}}[\frac{1}{s}-\frac{3}{3s+1}]\\
&= \mathcal{L^{-1}}[\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{3}}]\\
&= 1 - e^{-\frac{t}{3}}
\end{align*}$$

となります

 

(2)まずは、伝達関数G(s)を求めていきます

与えられた微分方程式をラプラス変換して、式変形をすると

$$\begin{align*}
sY(s) - y(0)&= 2Y(s) + 4U(s)\\
(s-2)Y(s) &= 4U(s)\\
\frac{Y(s)}{U(s)} &= \frac{4}{s-2}
\end{align*}$$

のようになります

 

\(伝達関数G(s) = \frac{出力Y(s)}{入力U(s)}\)であるから

$$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{4}{s-2}$$

となります

 

よって、単位ステップ応答は

$$\begin{align*}
y(t)
&= \mathcal{L^{-1}}[U(s)G(s)]\\
&= \mathcal{L^{-1}}[\frac{1}{s}\cdot\frac{4}{s-2}]
\end{align*}$$

逆ラプラス変換をするために、部分分数分解をします

$$\frac{4}{s(s-2)} = \frac{a}{s}+\frac{b}{s-2}$$

整理すると、\(a = -2~,~b=2\)が求められるから、単位ステップ応答は

$$\begin{align*}
y(t)
&= \mathcal{L^{-1}}[-\frac{2}{s}+\frac{2}{s-2}] \\
&= -2+2e^{2t}
\end{align*}$$

となります

 

まとめ

今回は単位ステップ応答の求め方について簡単に説明しました

単位ステップ入力は高さ1の階段(ステップ)のような入力であり、システムの応答を求めるときによく使用される信号です

単位ステップ関数のラプラス変換はよく使うので、\(\frac{1}{s}\)であることは暗記しちゃって良いと思います

 

 

古典制御工学まとめに戻る

-制御工学, 機械工学

Copyright© どめブログ , 2021 All Rights Reserved.