工業力学 機械工学

工業力学 7章 解答解説

7.1

60[km/h]→60*1000/3600[m/s]

mv = 800*60*1000/3600 = 1.3*10^4[kg*m/s]

7.2

Ft = mvより

1000*10 = 2000v

v = 5[m/s]

7.3

Ft = mvより

F*20 = 100*10

F = 50[N]

7.4

運動方程式F = maより

4t^3 = 5a

a = 0.8t^3

$$v = \int_{0}^{3}{0.8t^3}dt = 16.2[m/s]$$

7.5

打ち返す前後のボールの速さをv_1、v_2とする。

Ft = mv_2 - mv_1 = 10[kg*m/s]

F = 10/0.02 = 500[N]

7.6

運動量保存則より 80v +100 = 0

v = -1.25[m/s]

7.7

重りとくいの質量をそれぞれM,mとし、衝突前後の速度をそれぞれv,Vとする。

衝突前後の運動量保存則より

$$Mv = (m + M)V $$変形して $$V = \frac{M}{m+M}v$$

衝突直前の速度vは等加速度直線運動の公式より$$v = \sqrt{2gy}$$

衝突直後とくいが地中にLほど打ち込まれた後のエネルギーのつり合いより

$$\frac{1}{2}(m+M)V^2 + (m+M)gL = FL$$これらに数値を代入して整理すると$$F = (M+m)g + \frac{(Mv)^2}{L(M+m)} = 1.61*10^5[N]$$

7.8

$$e = -\frac{3-8}{10-0} = 0.5$$

7.9

衝突前後の運動量保存則より$$2*1.5 = m_Av_A$$はねかえり係数は$$0.75 = \frac{v_A}{1.5}$$v_A = 1.125[m/s] , m_A = 2.7[kg]

7.10

はねかえる高さをh'とすると

h' = he^2 = 3*0.64 = 1.9[m]

同様に、二回目にはねかえる高さはe^4h、三回目にはねかえる高さはe^6hであるから静止するまでに動く距離Lは

$$L = h + 2e^2h + 2e^4h + … = h+2e^2h(1+e^2+e^4+…) = h + 2e^2h\frac{1}{1-e^2} = 13.7[m]$$

※無限等比級数の和の公式を使用しました。

7.11

20[kg] , 15[kg]の球の衝突後のx,y成分の速さをそれぞれv_Ax , v_Bx , v_Ay , v_Byとする。

接触面に垂直に作用反作用ははたらくため、y軸成分の速度は

$$v_{Ay} = 10sin45°[m/s] , v_{By} = -3[m/s]$$

x軸方向成分の運動量保存則より

$$20*10cos45° - 15*6cos30° = 20v_{Ax} + 15v_{Bx}$$

はねかえり係数より$$0.8 = -\frac{v_{Ax - v_{Bx}}}{10cos45° - (-6cos30°)}$$これらより$$v_{Ax} = -2.392[m/s] , v_{Bx} = 7.42[m/s]$$よって

$$v_A = \sqrt{v_{Ax}^2+v_{Ay}^2} = 7.5[m/s] , v_B = \sqrt{v_{Bx}^2+v_{By}^2} = 8.0[m/s]$$

方向は

$$θ_A = Arctan(\frac{v_Ay}{v_Ax}) = 108.7° , θ_B = Arctan(\frac{v_By}{v_Bx}) = 22.0°$$

7.12

接触面に垂直に作用反作用ははたらくため、vcos30° = 20cos45°よってv = 16.3[m/s]

y方向の速度成分は$$v_y = vsin30° = 8.1649…$$

はねかえり係数eは$$e = \frac{v_y}{20sin45°} = 0.58$$

7.13

初速度のx,y方向成分は

$$v_x = 20cos60° = 10[m/s] , v_{y} = 20sin60° = 17.31[m/s]$$

一回目に地面に着くまでにかかる時間t1は等加速度直線運動の公式より$$t_1 = \frac{2v_y}{g} = 3.5326…$$二回目に地面に着くときの速度はev_yであるから、二回目に地面に着くまでにかかる時間t2は$$t_2 = e\frac{2v_y}{g} = 2.47285…$$同様に$$t_3 = e^2\frac{2v_y}{g}$$よって合計の時間t = t1+t2+t3 = 7.736…

よって求める距離 L = v_x*t = 77.4[m]

7.14

ハンマと丸棒の質量、衝突前後の速度をそれぞれm1,m2,v1,v2,v1',v2'とする。

棒の重心に対する回転半径k_Gは$$k_G = \frac{0.8^2}{12} = 0.0533…$$

換算質量m_redは

$$m_{red} = \frac{m_2}{1+\frac{a^2}{k_{G}^2}} = \frac{1.0}{1+\frac{0.35^2}{0.0533}} = 0.3031$$

運動量保存則より$$m_{red}v_2 + m_1v_{1}' = m_{1}v_{1}$$はねかえり係数eは$$e = -\frac{v_{1}'-v_{2}'}{v_1}$$

これらより

$$v_{1}' = \frac{m_1 - em_{red}}{m_1 + m_{red}}v_1 = 3.5[m/s] , v_{2}' = \frac{m_1(1+e)}{m_1+m_{red}}v_1 = 6.2[m/s]$$

7.15

ハンマと棒の質量、衝突前後の速度をそれぞれm1,m2,v1,v2,v1',v2'とする。

$$m_{red} = \frac{m_{2}k_{A}^2}{l^2} = \frac{3*\frac{1}{3}}{1} = 1[kg]$$

7.14と同様に

$$v_{1}' = \frac{m_1 - em_{red}}{m_1 + m_{red}}v_1 = \frac{2-0.5}{2+1}*3 = 1.5[m/s]$$
$$v_{2}' = \frac{m_1(1+e)}{m_1+m_{red}}v_1 = \frac{2*1.5}{2+1}*3 = 3[m/s]$$

v = rωよりω = 3[rad/s]

7.16

棒の重心から打った点までの長さをx[m]、重心周りの回転半径をk_Gとすると

$$0.5x = k_{G} = \frac{1}{12}$$より$$x = \frac{1}{6} = 0.167[m]$$

 

 

間違い、質問等ありましたらコメントよろしくお願いします。

 

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