大学数学

定数係数2階線形微分方程式の解法

次のような式を「2階線形常微分方程式」といいます。

$$y'' + P(x)y' + Q(x)y = R(x) \cdots ①$$

ここでR(x) ≠0のとき非同次微分方程式(非斉次微分方程式)といい、R(x)=0のとき、すなわち

$$y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 \cdots ➁$$

を同次微分方程式(斉次微分方程式)といい、また➁を①の同伴方程式といいます。

今回はP(x)およびQ(x)が定数であるときの解法について2つの方法を解説します。

定数係数2階同次方程式の解法

定数係数2階同次方程式
$$y'' + py' + qy = 0 \cdots ③$$
の基本解は以下のようになる。

③の特性方程式
$$λ^{2} + pλ + q = 0$$
の2つの解λ1、λ2が
(A)相異なる2実数解のとき基本解y1、y2は
$$e^{λ_{1}x}、e^{λ_{2}x}$$
(B)重解であるとき基本解y1、y2は
$$e^{λ_{1}x}、xe^{λ_{1}x}、$$
(C)共役な虚数解λ1 = α+iβ、λ2 = α-iβのとき基本解y1、y2は
$$e^{αx}cosβx、e^{αx}sinβx$$

ロンスキアン(ロンスキー行列式)を使用する方法

基本解y1、y2のロンスキアン(ロンスキー行列式)W(y1,y2)は
$$W(y_1,y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_{1}' & y_{2}'\\\end{vmatrix}$$
です。
これを使って微分方程式を解くことができます。

ここでは例として
$$y'' + 4y' + 3y = e^{x} \cdots ➃$$
の微分方程式を解いていきます。

まず➃の同伴方程式
$$y'' + 4y' + 3y = 0 \cdots ⑤$$
の基本解を求めます。
⑤の特性方程式
$$λ^{2} + 4λ + 3 = 0$$
変形して
$$(λ+1)(λ+3) = 0$$
の2つの解はλ1 = -3 、λ2 = -1であるから前段(A)より基本解y1、y2は
$$e^{-3x}、e^{-x}$$
となります。
よって基本解y1、y2のロンスキアン(ロンスキー行列式)W(y1,y2)は

$$W(y_1,y_2) = \begin{vmatrix}  y_1 & y_2 \\ y_{1}' & y_{2}'\\\end{vmatrix}$$
$$W(y_1,y_2) = 2e^{-4x}$$

となり、ここで基本解y1,y2がわかっているとき➃の特殊解y0は

$$y_{0} = -y_{1}\int_{}^{}{\frac{y_2R(x)}{W(y_1,y_2)}}dx + y_{2}\int_{}^{}{\frac{y_1R(x)}{W(y_1,y_2)}}dx \cdots ⑥$$

となります。よって

$$y_{0} = -e^{-3x}\int_{}^{}{\frac{e^{-x}e^x}{2e^{-4x}}}dx +e^{-x}\int_{}^{}{\frac{e^{-3x}e^x}{2e^{-4x}}}dx$$

これを計算すると

$$y_0 = \frac{e^x}{8}$$

となるので一般解yはC1C2を任意定数として
$$y = y_0 +C_1y_1 + C_2y_2$$
より一般解は

$$y = \frac{e^x}{8}+ C_1e^{-3x} + C_2e^{-x}$$

と求められます。

この方法で大事なのは⑥の公式を暗記するということです。

同伴方程式の基本解から一般解を仮定する方法

➃の微分方程式を違うやり方で解いてみます。
ここでも先ほどと同じく同伴方程式の基本解を求めます。
⑤の基本解y1、y2は
$$e^{-3x}、e^{-x}$$
となります。

ここでu(x)をxの関数として一般解をy = u(x)y2とおきます。(y1,y2どちらでもかまいません)
$$y = ue^{-x}$$
であるため一般解yをxで微分すると
$$y' = u'e^{-x} - ue^{-x} = (u' - u)e^{-x}$$

$$y'' = -(u' - u)e^{-x} + (u'' - u')e^{-x} = (u'' - 2u' + u)e^{-x}$$

これらを➃に代入すると

$$(u'' - 2u' + u)e^{-x} + 4(u' - u)e^{-x} + 3ue^{-x}= e^{x}$$

整理して
$$u''+2u' = e^{2x} \cdots ⑦$$

となります。ここでu'=pとするとu'' = p'であるから⑦式は
$$p' + 2p = e^{2x}$$
となりpについての1階線形微分方程式となります。よって1階線形常微分方程式の解の公式を用いて
$$p=e^{-\int_{}{}{2dx}}(\int_{}{}{e^{2x}e^{\int_{}{}{2dx}}}dx + C_1)$$
$$p = \frac{e^{2x}}{4} + C_1e^{-2x}$$
さらに両辺をxで積分して
$$u = \frac{e^{2x}}{8} - \frac{C_1e^{-2x}}{2} + C_2$$

よって一般解はy = u(x)y2より

$$y = \frac{e^x}{8}- \frac{C_1e^{-3x}}{2} + C_2e^{-x}$$

となり、ロンスキアンを使用する方法と一致したことがわかると思います。

まとめ

定数係数2階線形微分方程式の解法について2つ解説しました。
どちらでも解答できるので好きなやり方で解くといいと思います。
この2つの方法は定数係数でないといけないので注意が必要です。

-大学数学

Copyright© どめブログ , 2021 All Rights Reserved.