スポンサーリンク




大学数学

完全微分方程式の判定と解法

今回は完全微分方程式について解説します。

完全微分方程式とは?判定法は?

$$P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 \cdots ①$$
微分方程式①が完全微分方程式であるための必要十分条件は
$$P_y(x,y) = Q_x(x,y)$$
です。
Py(x,y)というのはP(x,y)のyに関する偏微分、Qx(x,y)というのはQ(x,y)のxに関する偏微分です。

では少し練習してみましょう。

【例題】次の微分方程式が完全微分方程式であるか判別せよ

$$(1)  (x - cosy)dx + (xsiny + e^y)dy = 0$$

$$(2)  (2x + e^y)dx + (-x + e^y)dy = 0$$

【解答】
(1)

$$(x - cosy)_y = siny , (xsiny + e^y)_x = siny$$

より完全微分方程式である。

(2)
$$(2x + e^y)_y = e^y , (-x + e^y)_x = -1$$
より完全微分方程式ではない。

一般解の求め方

微分方程式が完全系である場合その一般解は

$$\int_{0}^{x}{P(x,y)}dx + \int_{0}^{y}{Q(0,y)}dy = C \cdots Ⓐ$$

または

$$\int_{0}^{x}{P(x,0)}dx + \int_{0}^{y}{Q(x,y)}dy = C \cdots Ⓑ$$

となる。Cは任意定数です。
ではさきほどの例題(1)の完全微分方程式の一般解を求めてみましょう。

$$(1)  (x - cosy)dx + (xsiny + e^y)dy = 0$$

P(x,y) = (x - cosy) , Q(x,y) = (xsiny + e^y)より
公式Ⓐを使うと
$$\int_{0}^{x}{ (x - cosy)}dx + \int_{0}^{y}{e^y}dy = C$$
$$\frac{x^2}{2} - xcosy + e^y - 1 = C$$

$$\frac{x^2}{2} - xcosy + e^y = C_1(C_1 = C+1)$$

となり一般解が求められました。

また、公式Ⓑを使っても

$$\int_{0}^{x}{(x-1)}dx + \int_{0}^{y}{(xsiny + e^y)}dy = C$$

$$\frac{x^2}{2} - x - xcosy + e^y + x - 1= C$$

$$\frac{x^2}{2} - xcosy + e^y = C_1(C_1 = C+1)$$

となります。

おまけ

①の微分方程式において
$$P_y(x,y)dx = Q_x(x,y)dy$$
が成り立たないときは完全微分方程式ではありません。
そういう場合には「積分因子」というものを使って微分方程式を解きます。
積分因子を用いた微分方程式の解き方について知りたい方は以下の記事をご覧ください。

積分因子を求めて微分方程式を解く

スポンサーリンク




-大学数学

Copyright© どめブログ , 2021 All Rights Reserved.