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工業力学 雑記 高校物理

物を最も遠くへ投げられるのは45度なのはなぜか

こんにちは、どめです。

ボールなどの物を投げるとき、どの角度が最も遠くへ投げられるのか知っている人も多いと思います。

答えはタイトルにもある通り、45度。

今回は なぜ45度が最も遠くへ投げられるのか について解説したいと思います。

 

斜方投射

ななめの方向に初速度を与えて、空中に打ち出す動作を斜方投射といいます。

以下の図のように考えると

x方向の速度は$$v_{x} = v_{0}cosθ$$

y方向の速度は重力が加わるので$$v_{y} = v_{0}sinθ - gt$$となります。

ここまでは高校物理で学ぶと思います。

速度をtで積分すると変位(距離)になるので、これらをtで積分すると

$$x = (v_{0}cosθ)t$$$$y = (v_{0}sinθ)t - \frac{1}{2}gt^2$$となります。

t = 0 において、ボールの位置(x, y) は (0, 0) なので、積分定数Cは出てきません。

 

あとは計算

先ほどのx,yの式からtを消します。

$$y = (v_{0}sinθ)\frac{x}{v_{0}cosθ} - \frac{g}{2}\frac{x^2}{(v_{0}cosθ)^2}$$整理して$$y = (tanθ)x - \frac{g}{2}\frac{x^2}{(v_{0}cosθ)^2}$$

距離が最大になるときは、物を投げて再び地面に着くときであるから、y = 0なので

$$0 = x(tanθ - \frac{g}{2}\frac{x}{(v_{0}cosθ)^2})$$よって$$x = 0 , \frac{2v_{0}^2sinθcosθ}{g} = \frac{v_{0}^2sin2θ}{g}$$

sin2θはθ = 45度のとき最大になるため、45度が物を最も遠くへ投げられると分かります。

 

人が投げるときは45度が最大ではない?

先ほどの条件では地面からの高さが0mからの斜方投射でしたが、人が投げる時には初速度を与える時には、地面からある程度の高さがあります。

この高さをhとして先ほどと同様に計算していきます。

x,yそれぞれの変位は$$x = (v_{0}cosθ)t$$$$y = (v_{0}sinθ)t - \frac{1}{2}gt^2 + h$$となります、再び地面につくときはy = 0であるから$$0 = (v_{0}sinθ)t - \frac{1}{2}gt^2 + h$$tについて整理して$$gt^2 - 2v_{0}sinθt - 2h = 0$$tについて解くと$$t = \frac{v_{0}sinθ±\sqrt{v_{0}^2sin^2θ + 2gh}}{g}$$t>0より$$t = \frac{v_{0}sinθ+\sqrt{v_{0}^2sin^2θ + 2gh}}{g}$$これをxの変位に代入して

$$x = (v_{0}cosθ)\frac{v_{0}sinθ+\sqrt{v_{0}^2sin^2θ + 2gh}}{g}$$

となりました。

ここで$$v_{0} = 10[m/s] , h = 2[m] , θ = 45度$$の場合と$$v_{0} = 10[m/s] , h = 2[m] , θ = 40度$$の場合を比べてみます、先ほどの式にそれぞれ代入すると

45度では

$$x = 10cos45°\frac{10sin45°+\sqrt{10^2sin^245° + 2*9.8*2}}{9.8} = 11.9166… = 11.9[m]$$

40度では

$$x = 10cos40°\frac{10sin40°+\sqrt{10^2sin^240° + 2*9.8*2}}{9.8} = 12.0386… = 12.0[m]$$

となり、40度の方が遠くへ投げられることがわかると思います。

なので「45度が最大」が成り立つのは地面からの高さが0のときのみであり、高さがあると45度よりも小さい角度(30~40°くらい)で投げる方が、距離が伸びるということがわかると思います。

 

空気抵抗があるときも45度が最大ではない?

高校物理では、空気抵抗を考慮することはまずありません。

空気抵抗を考慮した場合、空気抵抗によって速度は時間とともに低下します。

つまり、速度が衰えていないときに飛距離を稼ぐ方が有利なので、45度よりも小さい角度の方が距離が伸びます。

 

まとめ

今回は物を最も遠くへ投げられるのはなぜ45度なのか、また初期高さがある場合、空気抵抗がある場合についても解説しました。

理論的には45度が最大ですが、現実で物を投げる時には、45度よりも少し小さい角度で投げる方が良いと思います。

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