大学数学

リッカチの微分方程式の解法

以下のような微分方程式を「リッカチの微分方程式」といいます。

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y^2 + Q(x)y + R(x) = 0………………①$$

今回はこのような微分方程式の一般解の求め方について解説したいと思います。
今回の方程式を解くにあたって必要な知識として「1階線形微分方程式」と「ベルヌーイの微分方程式」というものがあります。リンクを載せておきます。

1階線形常微分方程式の解法

ベルヌーイの微分方程式の解法

手順

リッカチの微分方程式は特殊解が1つでも分かれば一般解を導くことができます。
例えば①の特殊解がy0だった場合、一般解をy = y0 + uとするとy' = (y0)' + u'であるから①に代入すると

$$y_{0}' + u' + P(x)(y_{0}^2 + 2y_{0}u + u^2) + Q(x)(y_{0} + u) + R(x) = 0$$
$$(y_{0}' + P(x)y_{0}^2 + Q(x)y_{0} + R(x)) + u' + P(x)(2y_{0}u + u^2) + Q(x)u = 0………………②$$

ここで左辺の{}で囲われている部分はy0が①の解であるから0となり、②は
$$u' + {2y_{0}P(x) + Q(x)}u = -P(x)u^2$$
となり関数uのベルヌーイの方程式となります。
あとはベルヌーイの方程式の解法から一般解を求められます。
練習問題で演習してみましょう。

練習問題

次のⒶ、Ⓑのリッカチの微分方程式の一般解を求めよ
ただし、Ⓐ、Ⓑそれぞれの特殊解をy0 = x, y0 = 1とする
$$\frac{dy}{dx} + \frac{3}{x}y^2 - \frac{y}{x} - 3x = 0 \cdots Ⓐ$$
$$\frac{dy}{dx} + y^2 + 2y - 3 = 0 \cdotsⒷ$$

【解答】

特殊解がxであるから一般解y = x + uとする。xで微分するとy' = 1 + u'であるからⒶに代入すると

$$1+u' +\frac{3}{x}(x+u)^{2} - \frac{x+u}{x} -3x = 0$$

整理して
$$u' + (6-\frac{1}{x})u = -\frac{3}{x}u^2$$
これはuに関するベルヌーイの微分方程式であり、これはn=2の場合であるから両辺に-u^(-2)をかけて
$$-u'\frac{1}{u^2} - (6-\frac{1}{x})\frac{1}{u} = \frac{3}{x} \cdots ③$$
1/u = zとすると③は
$$z' - (6-\frac{1}{x})z = \frac{3}{x} \cdots ➃$$
よって➃はzについての1階線形微分方程式であるから解の公式を用いて

$$z=e^{-\int_{}{}{-(6-\frac{1}{x})dx}}(\int_{}{}{\frac{3}{x}e^{\int_{}{}{-(6-\frac{1}{x})dx}}}dx + C)$$

ここで
$$e^{logx} = x , e^{-logx} = \frac{1}{x}$$
であるから
$$z = \frac{e^{6x}}{x}(3\int{}^{}{e^{-6x}}dx + C)$$
$$z = -\frac{1}{2x} + \frac{Ce^{6x}}{x}$$
z = 1/u、u = y -xより
$$\frac{1}{y-x} = -\frac{1}{2x} + \frac{Ce^{6x}}{x}$$

$$y = x + \frac{x}{C_{1}e^{6x}-1}(C_1 = 2Cとする)$$

となり、一般解が求められました。


特殊解が1であるから一般解y = 1 + uでありxで微分するとy' = u'であるからⒷに代入すると
$$u' + (1+u)^2 + 2(1+u) - 3 = 0$$
$$u' + 4u= -u^2$$
これはuに関するベルヌーイの微分方程式であり、これはn=2の場合であるから両辺に-u^(-2)をかけて
$$-u'\frac{1}{u^2} -\frac{4}{u} = 1 \cdots ⑤$$
1/u = zとすると⑤は
$$z' - 4z = 1 \cdots ⑥$$
よって⑥はzについての1階線形微分方程式であるから解の公式を用いて
$$z=e^{-\int_{}{}{-4dx}}(\int_{}{}{e^{\int_{}{}{-4dx}}}dx + C)$$
$$z = e^{4x}(-\frac{1}{4}e^{-4x}+C)$$
$$z = -\frac{1}{4} + Ce^{4x}$$
z = 1/u、u = y -xより
$$\frac{1}{y-x} = -\frac{1}{4} + Ce^{4x}$$
$$y = x + \frac{4}{C_{1}e^{4x}-1}(C_{1} = 4C)$$
となり、一般解が求められました。

 

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