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工業力学 機械工学

工業力学 6章 解答解説

6.1

$$I = 800*0.5^2 =200[kg*m^2]$$

6.2

$$I = \frac{2}{5}Mr^2 = \frac{2}{5}*10*0.1^2 = 4.0*10^{-2}[kg*m^2]$$

6.3

※コメント欄に解答の詳細を載せています

直径20cmと15cmの球の質量と半径をそれぞれM , m , R , rとし、R/r = pとおく。

球の体積は$$\frac{4}{3}πr^3$$であるため$$M = (\frac{R}{r})^3m = p^3m$$これを$$4 = M - m$$に代入すると

$$m = \frac{4}{p^3-1} = \frac{108}{37} , M = 4 + \frac{4}{p^3 - 1} = \frac{256}{37}$$

よって慣性モーメントIは

$$I = \frac{2}{5}*\frac{108}{37}*0.1^2 - \frac{2}{5}*\frac{256}{37}*0.075^2 = 2.1*10^{-2}[kg*m^2]$$

またI = mk^2より$$k = \sqrt{\frac{I}{4}} = 7.3[cm]$$

6.4

左側から計5つの図形それぞれの慣性モーメントを求め、これらを足し合わせることで答えが出る。

まず、左端から順に質量を求めていく。

$$0.075^{2}π*0.2*7800 = 8.775π[kg]$$$$0.32*0.5*0.1*7800 = 124.8[kg]$$$$0.075^{2}π*0.15*7800 = \frac{26.325}{4}π[kg]$$$$0.32*0.5*0.1*7800 = 124.8[kg]$$$$0.075^{2}π*0.15*7800 = \frac{26.325}{4}π[kg]$$

慣性モーメントを左から順に求めていく、平行軸の定理より I = I_G + md^2、これを使用する。

$$\frac{8.775}{2}π*0.075^2+0.22^2*8.775π = 1.411…[kg*m^2]$$$$\frac{124.8}{12}*0.32^2*0.5^2+0.11^2*124.8 = 5.1750…[kg*m^2]$$$$\frac{26.325}{8}π*0.075^2+0 = 0.0581…[kg*m^2]$$$$\frac{124.8}{12}*0.32^2*0.5^2+0.11^2*124.8 = 5.1750…[kg*m^2]$$$$\frac{26.325}{8}π*0.075^2+0.22^2*\frac{26.325}{4}π = 1.0588…[kg*m^2]$$

これらを足し合わせると I = 12.9[kg*m^2]

6.5

20×3と12×3の長方形に分けて考える。

まず左下部分を(0,0)としたときの重心の座標(Gx , Gy)を求める。

$$G_x = \frac{60*1.5 + 36*9}{60 + 36} = 4.3125[cm] , G_y = \frac{10*60 + 1.5*36}{60+36} = 6.8125[cm]$$

よってx軸周り、y軸周りの断面二次モーメントをIx , Iyとすると

$$I_x = (10-6.8125)^2*60 + \frac{60}{12}*20^2 + (6.8125-1.5)^2*36 + \frac{36}{12}*3^2 = 3652 = 3.7*10^3[cm^4]$$$$I_{y} = (4.3125-1.5)^2*60+\frac{60}{12}*3^2 + (9-4.3125)^2*36+\frac{36}{12}*12^2 = 1742.625 = 1.7*10^3[cm^4]$$

6.6

直径5cmの円柱と8cmの円柱それぞれの慣性モーメントを出し、それらを足し合わせる。

それぞれの慣性モーメント、質量をI1、I2、M1、M2 とし、求める位置が中心からxだけ右にあるとすると

$$I = I_1 + (5+x)^2 M_1 + I_2 + (5-x)^2 M_2$$

これを微分して0になるxを求めると$$x = \frac{5*(M_2 - M_1)}{M_1+M_2} = 2.2[cm]$$

よって左端から12.2[cm]、重心は

$$G_x = \frac{5*5*π*10*5 + 8*8*π*10*15}{5*5*π*10 + 8*8*π*10} = 12.2[cm]$$

$$M_1 = 0.025*0.025*π*0.1*7800 = 1.531…[kg] , M_2 = 0.04*0.04*π*0.1*7800 = 3.92…[kg]$$

$$I_1 = \frac{1}{12}M_1*(3*0.025^2+0.1^2) = 0.00151…[kg*m^2] , I_2 = \frac{1}{12}M_2*0.1^2 = 0.00483…[kg*m^2]$$

よって

$$I = 0.00151 + 0.072^2*1.531 + 0.00483 + 0.028^2*3.92 = 1.7*10^{-2}[kg*m^2]$$

6.7

ω = 200[rpm]→200*2π/60[rad/s]

N = Iω'より$$I = 300*\frac{15*60}{200*2π} = 215[kg*m^2]$$

6.8

300[rpm]→300*2π/60[rad/s]

100[rpm]→100*2π/60[rad/s]

I = 300*0.5^2

$$N = Iω' = 300*0.5^2*\frac{200*2π}{60*10} = 157[N*m]$$

6.9

100 = 60*ω'よりω' = 5/3

ω = ω0 + ω't = 16.7[rad/s] = 159[rpm]

6.10

ベルトA、Bの慣性モーメント、角加速度をそれぞれI_A , I_B , ω'_A , ω'_Bとする。

A,Bそれぞれのベルトの運動方程式を立てると$$T + T_{1}R_{A} - T_{2}R_{A} = I_{A}ω_{A}'$$$$T_{2}R_{B} - T_{1}R_{B} = I_{B}ω_{B}'$$

ベルトが滑らないので$$R_{A}ω_{A}' = R_{B}ω_{B}'$$

これらの式より

$$T_{2} - T_{1} = \frac{R_{A}I_{B}T}{R_{A}^{2}I_{B}+I_{A}R_{B}^2} , ω_{2}' = \frac{R_{A}R_{B}T}{R_{A}^{2}I_{B}+I_{A}R_{B}^2}$$

6.11

摩擦力をF'とする。

斜面方向の運動方程式と回転の運動方程式を立てると

$$Mgsin20° - F' = Ma , rF' = \frac{M}{2}r^2ω'$$

また、a = rω'より

$$Mgsin20° - \frac{M}{2}rω' = rMω'$$$$ω' = 8.93…よってa = rω' = 2.23…$$$$x = v_{0}t + \frac{1}{2}at^2 = 112[m]$$

6.12

並進の運動方程式と回転の運動方程式を立てると

$$Ma = F - F' , (F+F')r = \frac{1}{2}*Mr^2ω'$$

a = rω'より

$$F + F' = \frac{1}{2}Mrω' = \frac{1}{2}aM = \frac{1}{2}(F-F')$$

よってF = -3F'ゆえに$$a = \frac{F-F'}{M} = \frac{4F}{3M}$$

6.13

図のように考えて静的なつり合いを考えると

$$8*10+ 0 +12*6*cos210° + M_{4}cosθ*12 = 0 , 0 + 6*8 + 12*6*sin210° + M_{4}sinθ*12 = 0$$

整理して

$$θ = Arctan(\frac{1}{1.4705}) = 34.2[°] , 214.2° , M_{4} = 1.8[kg]$$

図から34.2[°]は成り立たない。

 

 

6章が終了して、やっと半分まで来ました。

残り半分も順に掲載していきますのでお待ちください。

間違い、質問等ありましたらコメントよろしくお願いします。

 

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