動的システムに入力を加えたとき、出力は時間により変化します
この時間変化の様子を時間応答と言います
システムによって入力に対する応答は異なりますので、扱いたいシステムが入力に対してどのように応答するのかを知ること、つまりシステムの特性を知ることが必要になってきます
入力から応答を求めるときには、実際に現実のシステムに入力信号を加えて応答信号を観察する方法と、計算によって求める方法の2つの方法がありますが、制御工学の座学では、後者の計算によって求める方法について考えます
システムの応答を知るための信号として「インパルス信号」、「ステップ信号」、「ランプ信号」というものがあります
この記事ではランプ信号について解説をしていきたいと思います
ランプ入力、ランプ応答とは
ランプ関数(正規化線形関数)の入力のことをランプ入力と呼びます
ランプ関数のグラフは以下のようになります
ランプ関数を\(u_R (t)\)として数式で表すと
$$u_R (t) = \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}0 \space(t < 0)\\ t \space(t \geq 0) \end{array} \right. \end{eqnarray}$$
のようになります
他の表現として、最大値関数や、傾きが1の直線とその絶対値との平均としても記述できますが、一番最初のものがわかりやすいと思います
$$u_R(t) = max(t,0)$$
$$u_R(t) = \frac{t+|t|}{2}$$
このランプ関数の入力に対する出力を、ランプ応答と呼びます
ランプ関数のラプラス変換
ラプラス変換の定義式より、ランプ関数のラプラス変換を求めます
ランプ関数を\(u_R (t)\)とすると、部分分数分解を使って
$$\begin{align*}
U(s)
&= \mathcal{L}[u_R (t)]\\
&= \int_{0}^{\infty} u_R (t)e^{-st}dt \\
&= \int_{0}^{\infty} te^{-st}dt\\
&= \int_{0}^{\infty} t(-\frac{e^{-st}}{s})'dt\\
&= \left [ -\frac{te^{-st}}{s} \right]_0^\infty - \int_{0}^{\infty}(-\frac{e^{-st}}{s})dt\\
&= \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-st}}{s}dt\\
&= \left [ -\frac{e^{-st}}{s^2} \right ]_{0}^{\infty}\\
&= \frac{1}{s^2}
\end{align*}$$
となります
例題
では例題を解いてみましょう
\(y(t)\)を出力、\(u(t)\)を入力とします
(1)次の伝達関数\(G(s)\)に関するランプ応答を求めなさい
$$G(s) = \frac{1}{3s+1}$$
(2)システムのモデルが
$$y'(t) = 2y(t) + 4u(t)\space , y(0) = 0$$
となるとき、伝達関数\(G(s)\)に関するランプ応答を求めなさい
【解答】
求めるのはランプ応答なので、入力はランプ関数の入力になります
入力\(u(t)\)のラプラス変換\(U(s)\)は
$$U(s) = \frac{1}{s^2}$$
となることを使って解いていきます
(1)\(伝達関数G(s) = \frac{出力Y(s)}{入力U(s)}\)であるから、ランプ応答\(y(t)\)は逆ラプラス変換より
$$\begin{align*}
y(t)
&= \mathcal{L^{-1}}[U(s)G(s)]\\
&= \mathcal{L^{-1}}[\frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{3s+1}]
\end{align*}$$
となります
逆ラプラス変換をするために、部分分数分解をします
$$\frac{1}{s^2 (3s+1)} = \frac{a}{s^2} + \frac{b}{s} + \frac{c}{3s+1}$$
整理すると\(a = 1~,~b=-3~,~c=9\)が求められるから、ランプ応答は
$$\begin{align*}
y(t)
&= \mathcal{L^{-1}}[\frac{1}{s^2} - \frac{3}{s} + \frac{9}{3s+1}]\\
&= t - 3 + 9e^{-\frac{t}{3}}
\end{align*}$$
となります
(2)まずは、伝達関数\(G(s)\)を求めていきます
与えられた微分方程式をラプラス変換して、式変形をすると
$$\begin{align*}
sY(s) - y(0)&= 2Y(s) + 4U(s)\\
(s-2)Y(s) &= 4U(s)\\
\frac{Y(s)}{U(s)} &= \frac{4}{s-2}
\end{align*}$$
のようになります
\(伝達関数G(s) = \frac{出力Y(s)}{入力U(s)}\)であるから
$$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{4}{s-2}$$
となります
よって、ランプ応答は
$$\begin{align*}
y(t)
&= \mathcal{L^{-1}}[U(s)G(s)]\\
&= \mathcal{L^{-1}}[\frac{1}{s^2}\cdot\frac{4}{s-2}]
\end{align*}$$
逆ラプラス変換をするために、部分分数分解をします
$$\frac{4}{s^2(s-2)} = \frac{a}{s^2} + \frac{b}{s} + \frac{c}{(s-2)}$$
整理すると、\(a=-\frac{1}{2}~,~b=-\frac{1}{4}~,~c=\frac{1}{4}\)が求められるから、ランプ応答は
$$\begin{align*}
y(t)
&= \mathcal{L^{-1}}[-\frac{1}{2s^2} - \frac{1}{4s} + \frac{1}{4(s-2)}]\\
&= -\frac{1}{2}t - 4 + \frac{1}{4}e^{2t}
\end{align*}$$
となります
まとめ
今回は、ランプ応答の求め方について簡単に解説しました
ランプ応答は、インパルス応答や単位ステップ応答の次に頻出のものだと思います
ラプラス変換後に\(\frac{1}{s^2}\)となることは、暗記しちゃっても良いと思います