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断面二次モーメントの導出:正方形

説明のために公式一覧のページと一部文字を変更しています

以下のような正方形の断面二次モーメントを求めます

 

 

z軸からyだけ離れた微少長さdyを考える

 

 

赤い微少部分の面積dAは

$$dA = ady$$

よって、z軸まわりの断面二次モーメントIzは

$$\begin{align*}
I_{z}
&= \int_{A}^{} y^2 a dy\\
&= a\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} y^2 dy\\
&= a\left[ \frac{y^3}{3} \right]_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}\\
&= \frac{a^4}{12}
\end{align*}
$$

図心から断面の端までの長さはa/2なので、断面係数は

$$Z_{z} = \frac{I_{z}}{\frac{a}{2}} = \frac{a^3}{6}$$

となる

 

面積をAとすると、z'軸まわりの断面二次モーメントは、平行軸の定理より

$$\begin{align*}
I_{z'}
&= I_{z} + A(\frac{a}{2})^2\\
&= \frac{a^4}{12} + \frac{a^4}{4}\\
&= \frac{a^4}{3}
\end{align*}$$

と求められる

断面の端までの長さはaなので、断面係数は

$$Z_{z'} = \frac{I_{z'}}{a} = \frac{a^3}{3}$$

となる

 

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