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断面二次モーメントの導出:正方形(斜め)

以下のような正方形(斜め)の断面二次モーメントを求めます

 

 

z軸からyだけ離れた微少長さdyを考える

 

 

ここで、赤い微少部分の微少面積dAは近似的に長方形です

長方形の短辺はdyであり、長辺は三角形の高さによって異なります

長辺はz軸からの距離に対して反比例しますので

$$z = py + q~~~(p,qは定数)$$

とおいて考えます

長辺の長さは、z軸からの距離が0のときに√2a、z軸からの距離が√2a/2のときに0であるため、代入すると

$$\sqrt{2}a = q~,~0=\frac{\sqrt{2}}{2}ap+q$$

より

$$p = -2~,~q = \sqrt{2}a$$

となるから、長辺の長さは

$$z = (\sqrt{2}a - 2y)$$

となります

微少部分の面積dAは長辺×短辺で表されるので

$$dA = (\sqrt{2}a - 2y)dy$$

となります

 

z軸まわりの断面二次モーメントは

$$\begin{align*}
I_{z}
&= \int_{A}^{} y^2 dA\\
&= 2\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} y^2 (\sqrt{2}a - 2y)dy\\
&= 2\left[ \frac{\sqrt{2}y^3}{3}a - \frac{y^4}{2} \right]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\\
&= \frac{a^4}{12}
\end{align*}$$

と求められます

対角線の長さは√2aであるから、z軸から図の端までの距離は√2a/2であるため、断面係数は

$$Z = \frac{I_{z}}{\frac{\sqrt{2}a}{2}} = \frac{\sqrt{2}a^3}{12}$$

となります

 

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