以下のような正方形(斜め)の断面二次モーメントを求めます
z軸からyだけ離れた微少長さdyを考える
ここで、赤い微少部分の微少面積dAは近似的に長方形です
長方形の短辺はdyであり、長辺は三角形の高さによって異なります
長辺はz軸からの距離に対して反比例しますので
$$z = py + q~~~(p,qは定数)$$
とおいて考えます
長辺の長さは、z軸からの距離が0のときに√2a、z軸からの距離が√2a/2のときに0であるため、代入すると
$$\sqrt{2}a = q~,~0=\frac{\sqrt{2}}{2}ap+q$$
より
$$p = -2~,~q = \sqrt{2}a$$
となるから、長辺の長さは
$$z = (\sqrt{2}a - 2y)$$
となります
微少部分の面積dAは長辺×短辺で表されるので
$$dA = (\sqrt{2}a - 2y)dy$$
となります
z軸まわりの断面二次モーメントは
$$\begin{align*}
I_{z}
&= \int_{A}^{} y^2 dA\\
&= 2\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} y^2 (\sqrt{2}a - 2y)dy\\
&= 2\left[ \frac{\sqrt{2}y^3}{3}a - \frac{y^4}{2} \right]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\\
&= \frac{a^4}{12}
\end{align*}$$
と求められます
対角線の長さは√2aであるから、z軸から図の端までの距離は√2a/2であるため、断面係数は
$$Z = \frac{I_{z}}{\frac{\sqrt{2}a}{2}} = \frac{\sqrt{2}a^3}{12}$$
となります