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【院試解答】H30年 首都大学東京大学院 博士前期課程 機械システム工学域 数学(夏季募集)

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問題1

(1)$$y = (logx)^{cosx}$$$$log|y| = cosxlog(logx)$$両辺をxで微分して

$$\frac{y'}{y} = -sinxlog(logx) + cosx\frac{1}{xlogx} = -sinxlog(logx)+\frac{cosx}{xlogx}$$

よって

$$y' = (logx)^{cosx}\{ -sinxlog(logx)+\frac{cosx}{xlogx} \}$$

 

 

(2)

$$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{x-sinx}{x^3} = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{1-cosx}{3x^2} = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{sinx}{6x} = \frac{1}{6}$$

 

 

問題2

(1)$$\sqrt{x^{2}+a} = t - x$$より$$x^2 + a = (t-x)^2$$$$a = t^{2}-2tx$$$$x = \frac{1}{2}(t - \frac{a}{t})…①$$tで微分して$$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}(1 - \frac{a}{t^2})$$$$dx = \frac{x^2 + a}{2t^2}dt…②$$①より

$$\sqrt{x^2 + a} = t - \frac{1}{2}(t - \frac{a}{t}) = \frac{t^2 + a}{2t}…③$$

②、③より

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a}} = \int \frac{t^2+a}{2t^2}\frac{2t}{t^2+a}dt = ( \int \frac{1}{t}dt ) = log|t| = log|x+\sqrt{x^2 + a}|$$

 

(2)

$$ I = \int \sqrt{x^2 + a}dx  = \int \frac{x^2 + a^2}{\sqrt{x^2 + a}}dx = \int \frac{a^2}{\sqrt{x^2 + a}}dx + \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + a}}dx$$

ここで(1)より

$$\int \frac{a^2}{\sqrt{x^2 + a}}dx = a^{2}log|x+\sqrt{x^2 + a}|$$

また$$(\sqrt{x^2 + a^2})' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}$$より、部分積分を用いて

$$\begin{align*}
\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + a}}dx
&= \int x(\sqrt{x^2 + a^2})' dx\\
&= x\sqrt{x^2 + a^2} - \int \sqrt{x^2 + a^2}dx\\
&= x\sqrt{x^2 + a^2} - I
\end{align*}$$

よって

$$I = \frac{1}{2}(x\sqrt{x^2 + a^2} + a^{2}log(x+\sqrt{x^2 + a^2}))$$

 

 

問題3

(1)まず行列Aの右に単位行列Iをつけて[A | I]とします。
$$[A | I] = \left[\begin{array}{rrr|rrr} -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$$

行基本変形を行って[B | I]の形を目指します

1行目に-1をかけ、2行目に1/2をかけて、2行目を1行目に加えると$$\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & -1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$$

3行目に-1をかけて2行目に加え、2行目に1/3をかける、その後2行目を3行目に加えて$$\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & -1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{2}{3} \end{array} \right]$$

よって$$A^{-1} = \frac{1}{6}\left[\begin{array}{rrr} -6 & 3 & 0\\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 4\end{array} \right]$$

 

(2)$$\begin{align*}
&= |A - λI| = \begin{vmatrix} -1-λ & 2 & 1\\ 0 & 4-λ & 2 \\ 0 & -1 & 1\end{vmatrix}\\
&= -(1+λ)(4-λ)(1-λ) - 2(1+λ) \\
&= -(1+λ)(λ-1)(λ-3)\\
&= 0
\end{align*}$$

よって

$$λ = -1 , 2 , 3$$

 

(3)λ1 = -1を(A - λE)x = 0に代入し、$$x_{1} = \left[\begin{array}{r} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array} \right]$$とおくと

$$\left[\begin{array}{rrr} 0 & 2 & 1\\ 0 & 5 & 2 \\ 0 & -1 & 2\end{array} \right]\left[\begin{array}{r} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array} \right] = 0$$

α1 = k1とすると$$α_2 = 0 , α_3 = 0$$

よって$$x_1 = k_{1}\left[\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]$$

λ2, λ3も同様に行う

λ2 = 2を代入して$$x_{2} = \left[\begin{array}{r} β_{1} \\ β_{2} \\ β_{3} \end{array} \right]$$とおくと

$$\left[\begin{array}{rrr} -3 & 2 & 1\\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & -1\end{array} \right]\left[\begin{array}{r} β_{1} \\ β_{2} \\ β_{3} \end{array} \right] = 0$$

β2 = k2とすると$$β_3 = -k_2 , β_1 = \frac{1}{3}k_2$$

よって$$x_2 = k_{2}\left[\begin{array}{r} \frac{1}{3} \\ 1 \\ -1 \end{array} \right]$$

λ3 = 3を代入して$$x_{3} = \left[\begin{array}{r} γ_{1} \\ γ_{2} \\ γ_{3} \end{array} \right]$$とおくと

$$\left[\begin{array}{rrr} -4 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -2\end{array} \right]\left[\begin{array}{r} γ_{1} \\ γ_{2} \\ γ_{3} \end{array} \right] = 0$$

γ3 = k3とすると$$γ_2 = -2k_3 , γ_1 = -\frac{3}{4}k_3$$

よって$$x_3 = k_{3}\left[\begin{array}{r} -\frac{3}{4} \\ -2 \\ 1 \end{array} \right]$$

 

※固有ベクトルのx1が合ってるのかよく分かってません
0ベクトルにならなければいいのかなって感じで書いてます
詳しい方いたら教えてください

 

問題4

解の公式より

$$\begin{align*}
y
&=e^{-\int_{}{}{cosxdx}}(\int_{}{}{sinxcosx e^{\int_{}{}{cosxdx}}}dx + C)\\
&= e^{-sinx}(\int sinxcosxe^{sinx} + C)
\end{align*}$$

ここで$$t = sinxとおくとdt = costdt$$を使って

$$\begin{align*}
\int_{}{}{sinxcosx e^{sinx}dx}
&= \int (e^{sinx})'sinxdx\\
&= e^{sinx}sinx - \int e^{sinx}cosxdx\\
&=e^{sinx}sinx - \int e^{t}dt\\
&= sinxe^{sinx} - e^{sinx}+C_1\\
&= (sinx - 1)e^{sinx} + C_1
\end{align*}$$

よって

$$\begin{align*}
y
&= e^{-sinx}{e^{sinx}(sinx-1) + C_1 + C}\\
&= sinx - 1 + C_2 e^{sinx}
\end{align*}$$

 

 

 

以上です

配点が分かりませんが、線形代数は計算量が多く時間がかかるので、最後に解く方がいいと思っています

都立大の問題は基本的な問題が多いため、計算ミスには気を付けましょう

 

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