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問題１
(1)$$y = (logx)^{cosx}$$$$log|y| = cosxlog(logx)$$両辺をxで微分して
よって
(2)
問題2
(1)$$\sqrt{x^{2}+a} = t - x$$より$$x^2 + a = (t-x)^2$$$$a = t^{2}-2tx$$$$x = \frac{1}{2}(t - \frac{a}{t})…①$$tで微分して$$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}(1 - \frac{a}{t^2})$$$$dx = \frac{x^2 + a}{2t^2}dt…②$$①より
②、③より
(2)
ここで(1)より
また$$(\sqrt{x^2 + a^2})' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}$$より、部分積分を用いて
\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + a}}dx
&= \int x(\sqrt{x^2 + a^2})' dx\\
&= x\sqrt{x^2 + a^2} - \int \sqrt{x^2 + a^2}dx\\
&= x\sqrt{x^2 + a^2} - I
\end{align*}$$
よって
問題3
(1)まず行列Aの右に単位行列Iをつけて[A | I]とします。
$$[A | I] = \left[\begin{array}{rrr|rrr} -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$$
行基本変形を行って[B | I]の形を目指します
1行目に-1をかけ、2行目に1/2をかけて、2行目を1行目に加えると$$\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & -1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$$
3行目に-1をかけて2行目に加え、2行目に1/3をかける、その後2行目を3行目に加えて$$\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & -1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{2}{3} \end{array} \right]$$
よって$$A^{-1} = \frac{1}{6}\left[\begin{array}{rrr} -6 & 3 & 0\\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 4\end{array} \right]$$
(2)$$\begin{align*}
&= |A - λI| = \begin{vmatrix} -1-λ & 2 & 1\\ 0 & 4-λ & 2 \\ 0 & -1 & 1\end{vmatrix}\\
&= -(1+λ)(4-λ)(1-λ) - 2(1+λ) \\
&= -(1+λ)(λ-1)(λ-3)\\
&= 0
\end{align*}$$
よって
$$λ = -1 , 2 , 3$$
(3)λ1 = -1を(A - λE)x = 0に代入し、$$x_{1} = \left[\begin{array}{r} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array} \right]$$とおくと
$$\left[\begin{array}{rrr} 0 & 2 & 1\\ 0 & 5 & 2 \\ 0 & -1 & 2\end{array} \right]\left[\begin{array}{r} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array} \right] = 0$$
α1 = k1とすると$$α_2 = 0 , α_3 = 0$$
よって$$x_1 = k_{1}\left[\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]$$
λ2, λ3も同様に行う
λ2 = 2を代入して$$x_{2} = \left[\begin{array}{r} β_{1} \\ β_{2} \\ β_{3} \end{array} \right]$$とおくと
$$\left[\begin{array}{rrr} -3 & 2 & 1\\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & -1\end{array} \right]\left[\begin{array}{r} β_{1} \\ β_{2} \\ β_{3} \end{array} \right] = 0$$
β2 = k2とすると$$β_3 = -k_2 , β_1 = \frac{1}{3}k_2$$
よって$$x_2 = k_{2}\left[\begin{array}{r} \frac{1}{3} \\ 1 \\ -1 \end{array} \right]$$
λ3 = 3を代入して$$x_{3} = \left[\begin{array}{r} γ_{1} \\ γ_{2} \\ γ_{3} \end{array} \right]$$とおくと
$$\left[\begin{array}{rrr} -4 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -2\end{array} \right]\left[\begin{array}{r} γ_{1} \\ γ_{2} \\ γ_{3} \end{array} \right] = 0$$
γ3 = k3とすると$$γ_2 = -2k_3 , γ_1 = -\frac{3}{4}k_3$$
よって$$x_3 = k_{3}\left[\begin{array}{r} -\frac{3}{4} \\ -2 \\ 1 \end{array} \right]$$
※固有ベクトルのx1が合ってるのかよく分かってません
0ベクトルにならなければいいのかなって感じで書いてます
詳しい方いたら教えてください
問題4
解の公式より
y
&=e^{-\int_{}{}{cosxdx}}(\int_{}{}{sinxcosx e^{\int_{}{}{cosxdx}}}dx + C)\\
&= e^{-sinx}(\int sinxcosxe^{sinx} + C)
\end{align*}$$
ここで$$t = sinxとおくとdt = costdt$$を使って
\int_{}{}{sinxcosx e^{sinx}dx}
&= \int (e^{sinx})'sinxdx\\
&= e^{sinx}sinx - \int e^{sinx}cosxdx\\
&=e^{sinx}sinx - \int e^{t}dt\\
&= sinxe^{sinx} - e^{sinx}+C_1\\
&= (sinx - 1)e^{sinx} + C_1
\end{align*}$$
よって
y
&= e^{-sinx}{e^{sinx}(sinx-1) + C_1 + C}\\
&= sinx - 1 + C_2 e^{sinx}
\end{align*}$$
以上です
配点が分かりませんが、線形代数は計算量が多く時間がかかるので、最後に解く方がいいと思っています
都立大の問題は基本的な問題が多いため、計算ミスには気を付けましょう