伝達関数\(G(s)\)の分母多項式が\(s\)の二次式以下の場合には、\(分母多項式=0\)とした特性方程式から極を求めることで、制御系が安定かどうかを調べることができます
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制御系システムの安定性と極
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そして、分母多項式が三次式以上である場合には、上記の方法よりも簡単なものとして「ラウスの安定判別法」という方法があります
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ラウスの安定判別法について解説
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大学の講義などでは、ラウスの安定判別法について学ぶことが多いですが、もう一つの方法として「フルビッツの安定判別法」という方法があります
この記事では、「フルビッツの安定判別法」について説明します
フルビッツの安定判別法
フルビッツの安定判別法は、ラウスの安定判別法と似た方法です
数学的には同じ意味ですが、計算方法が多少異なります
フルビッツの安定判別法は、ラウスの安定判別法と同様に、伝達関数\(G(s)\)の分母多項式の係数を使って制御系が安定かどうかを調べます
伝達関数\(G(s)\)の分母多項式が、次のような方程式であるとします
$$a_{0}s^n + a_{1}s^{n-1} + a_{2}s^{s-2} + \cdots + a_{n-1}s + a_{n} = 0\cdots ①$$
フルビッツ行列との作成
①のn次多項式の係数に注目して、以下のようにn×n行列(フルビッツ行列)を作成します
$$H = \begin{bmatrix} a_{1} & a_{3} & a_{5} & a_{7}&\cdots &\\ a_{0} & a_{2} & a_{4} & a_{6}&\cdots &\\ 0 & a_{1} & a_{3} & a_{5}&\cdots &\\0 & a_{0} & a_{2} & a_{4} &\cdots & \\ \vdots &\vdots&\vdots&\vdots& \vdots &\vdots \\ 0&0&\cdots&&a_{n-2}&a_{n} \end{bmatrix}\\$$
そして、この行列式から、以下のようなn個の首座小行列式を作成します
$$\begin{align*}
\Delta _{1} &= |a_{1}|\\
\Delta _{2} &= \begin{vmatrix} a_{1} & a_{3} \\ a_{0} & a_{2} \end{vmatrix} = a_{1}a_{2}-a_{0}a_{3}\\
\Delta _{3} &= \begin{vmatrix} a_{1} & a_{3} & a_{5}\\ a_{0} & a_{2} & a_{4}\\ 0 & a_{1} & a_{3}\end{vmatrix} = a_{1}a_{2}a_{3}+a_{0}a_{1}a_{5} - a_{0}a_{3}^2 - a_{1}^2 a_{3}\\
&\vdots \\
\Delta _{n} &= |H|
\end{align*}$$
安定判別
フルビッツ行列の首座小行列式が全て正であれば、制御系は安定であると言えます
注意点
フルビッツ行列の作成を行う前に、以下の二点を確認しておきましょう
・係数はすべて正の値である
・多項式の各次数に項が存在する
この2点を満たしていない場合は、フルビッツ行列を作成せずに、制御系は安定していないと判断できます
練習問題
以下の伝達関数\(G(s)\)をもつ制御系システムが安定かどうか判断してください
$$G(s) = \frac{1}{s^4+ 13s^3 + 71s^2 + 135s + 120}$$
【解答】
まず、前提条件を確認します
特性方程式の係数はすべて正の値であり、多項式の各次数に項が存在するので、フルビッツ行列を作成します
$$H = \begin{bmatrix} 13 & 71 & 120\\ 1 & 13 & 135\\ 0 & 1 & 71\end{bmatrix}$$
首座小行列式は
$$\begin{align*}
\Delta _{1} &= |13| = 13>0\\
\Delta _{2} &= \begin{vmatrix} 13 & 71 \\ 1 & 13 \end{vmatrix} = 169-71=98 > 0\\
\Delta _{3} &= \begin{vmatrix} 13 & 71 & 120\\ 1 & 13 & 135\\ 0 & 1 & 71\end{vmatrix} = 11999+120-(5041+1755)\\
&= 12119-6796\\
&= 5323 > 0
\end{align*}$$
全て正ですので、制御系は安定であると言えます
まとめ
伝達関数の分母多項式が高次であれば、ラウスの安定判別法の他に、フルビッツの安定判別法というものが便利です
フルビッツ行列を作成し、首座小行列式の正負によって制御系が安定かどうか判断できます
フルビッツの安定判別法を使う前に以下の2点に注意
・係数はすべて正の値である
・多項式の各次数に項が存在する
また、行列式の計算は3×3行までは簡単ですが、4×4行以上のものだと計算が大変になるので、フルビッツの安定判別法を使用するのは四次式までにするのが良いでしょう
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