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１．
ここで$$2x - y = u$$としてxで微分すると$$2-y' = u'$$よって与式は$$2-u' = \frac{2u+1}{u-1}$$$$u' = 2 - \frac{2u+1}{u-1} = \frac{3}{u-1}$$$$(u-1)\frac{du}{dx} = -3$$$$(u-1)du = -3xdx$$$$\int_{}^{}{(u-1)du} = \int_{}^{}{-3xdx}$$$$u^{2}-u = -3x+C$$u = 2x-yとしたので
同次系の微分方程式ですね
同次系の解き方はこちらの記事で説明しています
２．
(1)固有値をそれぞれλ1 , λ2とする
Ax = λxより、(A-λE)x = 0……①
ここで、
x ≠ 0より固有方程式
$$6-5λ+λ^{2}-2 = 0$$$$(λ-1)(λ-4) = 0$$よって固有値λ1とλ2は$$λ_1 = 1 , λ_2 = 4$$
λ1 = 1のとき①をT1x1 = 0
また$$ x_1 \ = \begin{bmatrix} α_1 \\ α_2 \end{bmatrix}$$とすると
$$T_{1}x_{1} =\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 2 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} α_1 \\ α_2 \end{bmatrix} = 0$$よって4α1 + 2α = 0
α1 = k1とすると、α2 = -2k1
同様にλ2 = 4のとき
①をT2x2 = 0
また$$ x_2 \ = \begin{bmatrix} β_1 \\ β_2 \end{bmatrix}$$とすると
$$T_{2}x_{2} =\begin{bmatrix} -1 & 1\\ 2 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} β_1 \\ β_2 \end{bmatrix} = 0$$よってβ1 = β2
β1 = k2とすると、β2 = k2
これらより
λ1 = 1のとき$$x_{1} = k_{1}\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}$$
λ2 = 4のとき$$x_{2} = k_{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$
(2)
変換行列Xは(1)の固有ベクトルより$$X = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ -2 & 1\end{bmatrix} , X^{-1} = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1\end{bmatrix}$$よって$$X^{-1}AX = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 4\end{bmatrix}$$
単純に固有値より$$\begin{bmatrix} λ_1 & 0\\ 0 & λ_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 4\end{bmatrix}$$でも良いが、(3)で結局変換行列を出す必要があるので、上記のようにしました
(3)
$$XX^{-1} = 1$$より
{\begin{bmatrix} X^{-1}AX\end{bmatrix}}^{4}
&= X^{-1}AXX^{-1}AXX^{-1}AXX^{-1}AX \\
&= X^{-1}A^{4}X \\
&= {\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 4\end{bmatrix}}^{4} \\
&= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 4^4\end{bmatrix}
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
A^{4}
&= X\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 4^4\end{bmatrix}X^{-1}\\
&= \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & 1\\ -2 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 4^4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1\end{bmatrix}\\
&= \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & 4^4\\ -2 & 4^4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 2 & 1\end{bmatrix}\\
&= \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 513 & 511\\ 510 & 514\end{bmatrix}
\end{align*}$$